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cos(n) diverge



  1. #1
    Snowey

    cos(n) diverge


    ------

    Bonsoir, j'ai voulu montrer que cos(n) diverge, et j'ai réussi à trouver "deux idées", j'aimerai votre avis sur la meilleure, ou la plus efficace.

    Par l'absurde, on suppose que converge vers .
    - on a alors la sous suite qui converge vers l. Par relation trigo , j'ai donc, en passant à la limite, , soit ou .
    De même, la suite extraite converge vers l. On obtient par la relation la convergence de (sin(n)) vers .
    Finalement, j'utilise la convergence de vers 1 pour montrer que l'on aboutit à une contradiction pour les deux valeurs possibles de l. Par suite, (sin(n)) diverge et donc (cos(n)) diverge.

    Sinon, dans le même esprit, je considère, puisque sinus converge (relation précédente) de l'écrire : pour tout naturel n.
    On peut trouver deux suites extraites et qui convergent, puisque (cos(n)) converge par hypothèse, respectivement vers et . Or ce sont des sous suites de (sin(n)) donc elles convergent vers la même limite : On en conclut que l=1 ou l=-1 et que (sin(n)) converge vers 0. On aurait alors, avec la relation cos(n+1)=cos(n)cos(1)-sin(n)sin(1) que cos(1) vaut 1 ou -1, ce qui est faux. Nouvelle contradiction qui donne le résultat de la divergence de u.

    Qu'en pensez vous ?

    PS: Est il possible de conclure directement à la divergence dans la droite numérique achevée de (sin(n)) avec l'argument suivant: sin(n) est dense dans l'intervalle (-1,1) ?

    Merci d'avance, et très bonne soirée,

    Amicalement, Snowey.

    -----
    "... I am the master of my fate, I am the captain of my soul." Henley

  2. #2
    Linkounet

    Re : cos(n) diverge

    Citation Envoyé par Snowey Voir le message
    PS: Est il possible de conclure directement à la divergence dans la droite numérique achevée de (sin(n)) avec l'argument suivant: sin(n) est dense dans l'intervalle (-1,1) ?
    Oui car une suite numérique convergente possède une seule valeur d'adhérence. (et inversement une suite de cauchy possédant une valeur d'adhérence l a l pour limite). D'autre part il est évident qu'elle ne peut tendre vers +/- infini vu qu'elle est bornée.
    Dernière modification par Linkounet ; 06/01/2012 à 02h00.

  3. #3
    Snowey

    Re : cos(n) diverge

    Mes deux méthodes sont donc correctes ?

    Mais comment le justifier rogoureusement ?
    J'ai une petite idée, mais pas le temps de la developper: en gros, si elle converge vers l alors à partir d'un certain rang p tous les termes de la suites seront dans un intervalle de longueur plus petite que 1 (on prend ε petit, 1 dixième, ... Par ex). Or, puisque sin est dense dans -1,1, on a necessairement qu'un nombre fini de valeurs de la suite (de 1 à p-1) est dense dans un intervalle de R, ce qui suppose que ce dernier est au moins fini: contradiction !
    Est ce correct ?
    "... I am the master of my fate, I am the captain of my soul." Henley

  4. #4
    GogetaSS5

    Re : cos(n) diverge

    Sinon avec ton début, tu sais que et converge, donc converge, ce qui est faux.
    (Car sinon , ce qui est faux).

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    breukin

    Re : cos(n) diverge

    J'aurais fait plus symétrique, et plus général :
    Soit supposée convergente vers .
    Alors sont toutes deux convergentes vers .
    Donc sont toutes deux convergentes vers .
    Donc soit , soit est convergente vers (deux suites opposées convergent vers la même limite, qui est donc nulle).
    Dans le premier cas, soit , et alors , et et la suite n'est pas convergente, soit , et alors , et et la suite est convergente.
    Dans le second cas ( converge vers ), on doit avoir .
    Donc soit , soit (mais alors a déjà été traité).
    Mais si , converge vers , et ne peut plus converger vers .

  7. #6
    Snowey

    Re : cos(n) diverge

    Merci pour toutes ces méthodes, idées de démo ^^
    "... I am the master of my fate, I am the captain of my soul." Henley

  8. #7
    GogetaSS5

    Re : cos(n) diverge

    Remarque d'ailleurs que si tu sais que la suite est dense dans le cercle unité, tu obtiens que la suite est dense dans , ce qui est assez jolie comme résultat, je trouve.

  9. #8
    albanxiii
    Modérateur

    Re : cos(n) diverge

    Bonjour,

    GogetaSS5, votre argument est tout à fait juste, le seul problème c'est que si on veut utiliser ce résultat il faut en général le redémontrer... ce qui est un peu plus long que les solutions proposées ici.

  10. #9
    Snowey

    Re : cos(n) diverge

    Oui, c'est bien vrai. Cet argument est même un cran au dessus de celui qui consiste à utiliser la densité de sin(n) !
    Mais tout comme pour ce dernier, il faut le démontrer, parce que c'est un argument plus fort que ce que l'on veut montrer. J'ai par ailleurs, et par curiosité (^^), regardé quelques démonstrations de ces densités là, mais elles ne sont pas tout à fait encore à ma portée (celà viendra peut être au cours de l'année, voire très bientôt, qui sait ^^). En fait, j'ai pensé à la densité de sin(n) car elle a fait l'objet d'un DM, mais la redémontrer avec mes outils actuels s'avèrerait un peu long, puisqu'il faut redémontrer que si y est irrationnel, alors est dense dans (0,1), puis, en admettant que est irrationnel, on montre que où z est irrationnel ce qui permet enfin d'arriver à . Et d'ailleurs je ne sais pas comment conclure que !!)En tout cas, je trouve celà très interressant et instructif.
    Merci de ces réponses.

    Si on ne veut pas utiliser ces résultats, il faut donc utiliser les relations qui lient sinus et cosinus (éventuellement en passant par l'exponentielle). Le tout réside donc dans le fait que si u converge alors ses sous suites aussi, i.e. avec strictement croissante, n'est ce pas ? (je fais un bilan)


    Enfin, voilà la preuve rédigée que je n'avais pas eu le temps d'écrire dans mes messages précédents, et qui permet de conclure quant à la non convergence de sin(n) (si, bien sûr, il est dense dans (-1,1) ce que je n'ai en fait pas prouvé, puisque dans ma preuve n est relatif et non pas naturel ... y a t'il un moyen de s'y ramener ?):
    propriété: si est dense dans intervalle non vide de R, alors diverge dans .
    En effet, il suffit de raisonner par l'absurde: u converge alors vers l, un réel ou un infini.
    Si l est réel, alors, en traduisant la convergence de u: . On pose alors .
    On a, par définition de l'intervalle considéré, est non vide. On a donc nécessairement dense dans, une partie de R, réunion de deux intervalles, dont un au moins non vide. On a donc la densité d'un ensemble fini dans un ensemble infini, ce qui est impossible (tiroirs de Dirichlet). On a une contradiction, et donc le résultat. Un preuve similaire pour l infini donne une contradiction similaire.
    La propriété est donc prouvée !

    Dites moi que c'est juste, je vous en prie ^^

    Amicalement, Snowey.
    "... I am the master of my fate, I am the captain of my soul." Henley

  11. #10
    GogetaSS5

    Re : cos(n) diverge

    Citation Envoyé par albanxiii Voir le message
    Bonjour,

    GogetaSS5, votre argument est tout à fait juste, le seul problème c'est que si on veut utiliser ce résultat il faut en général le redémontrer... ce qui est un peu plus long que les solutions proposées ici.
    Mon second post était juste un résultat plus générale que je trouve assez intéressant mais qui est beaucoup plus fort. J'ai donné une solution au problème dans mon premier post.

    Sinon, ta démonstration Snowey me semble juste.

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