Bonsoir, j'ai voulu montrer que cos(n) diverge, et j'ai réussi à trouver "deux idées", j'aimerai votre avis sur la meilleure, ou la plus efficace.
Par l'absurde, on suppose queconverge vers
.
- on a alors la sous suitequi converge vers l. Par relation trigo
, j'ai donc, en passant à la limite,
, soit
ou
.
De même, la suite extraiteconverge vers l. On obtient par la relation
la convergence de (sin(n)) vers
.
Finalement, j'utilise la convergence devers 1 pour montrer que l'on aboutit à une contradiction pour les deux valeurs possibles de l. Par suite, (sin(n)) diverge et donc (cos(n)) diverge.
Sinon, dans le même esprit, je considère, puisque sinus converge (relation précédente) de l'écrire :pour tout naturel n.
On peut trouver deux suites extraiteset
qui convergent, puisque (cos(n)) converge par hypothèse, respectivement vers
et
. Or ce sont des sous suites de (sin(n)) donc elles convergent vers la même limite
: On en conclut que l=1 ou l=-1 et que (sin(n)) converge vers 0. On aurait alors, avec la relation cos(n+1)=cos(n)cos(1)-sin(n)sin(1) que cos(1) vaut 1 ou -1, ce qui est faux. Nouvelle contradiction qui donne le résultat de la divergence de u.
Qu'en pensez vous ?
PS: Est il possible de conclure directement à la divergence dans la droite numérique achevée de (sin(n)) avec l'argument suivant: sin(n) est dense dans l'intervalle (-1,1) ?
Merci d'avance, et très bonne soirée,
Amicalement, Snowey.
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