Familles et n-uplets

[inviteb70122ae]

Bonsoir à tous,


Je reste sans voix face à un problème n-uplets :

On sait qu'une relation est un triplet où et sont des ensembles (respectivement de départ et d'arrivée), et une partie de .

Une famille d'un ensemble est quant à elle une relation dont l'ensemble d'arrivée est (elle peut donc s'écrire , avec un ensemble et une partie de ). On note plus particulièrement .

Néanmoins, j'ai appris que l'on pouvait écrire une famille sous la forme d'un n-uplet comprenant toutes les valeurs pour , c'est à dire que où sont des éléments de .

On peut donc écrire . Or ceci est très perturbant car l'égalité de deux n-uplets se fait par identification des coefficients respectifs, ce qui n'est pas possible ici !


Merci d'avance de bien vouloir éclairer ma lanterne.
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[invite57a1e779]

Une famille est effectivement un triplet , étant un ensemble de couples où est un élément de et un élément de .

L'écriture formelle d'une famille est particulièrement illisible. Par exemple, si je considère le -espace vectoriel des polynômes à une indéterminée , à coefficients dans le corps , de degré inférieur ou égal à 7, et sa base canonique , alors est la famille :



et on préfère naturellement écrire ou .

Mais ce ne sont que des notations, pour désigner de façon concise et pratique l'objet mathématique dont on parle, il ne s'agit pas de la description formelle de l'objet lui-même.

[inviteb70122ae]

D'accord, c'est donc un simple abus de langage ? Ici, ne représente pas le 8-uplet composé des éléments et

[invite57a1e779]

Oui, c'est l'abus de langage courant qui consiste à confondre une fonction, ici , et ses valeurs.

Exactement comme lorsqu'on écrit : ce sont les fonctions qui sont équivalentes au voisinage de 0 (certains puristes écriront systématiquement : ), mais on écrit généralement les valeurs sans se soucier de donner un nom aux fonctions, par exemple : .

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb70122ae]

Je vois. Bien que la notation soit irritante, si il n'y a pas d’ambiguïté sur sa réelle signification, alors tout va bien.
Merci beaucoup pour ces réponses efficaces !