Intégration par partie + changement de variable

[invited0d85cc7]

Bonjour,

Je cherche à intégrer la fonction suivante :

Integrale de 0 à h de racine carré (2RX+X²)DX

faut il changer de variable ? U=tanx par exemple ? et comment intégrer ensuite ?

Merci de votre aide
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Il s'agit de l'intégrale sur la branche d'hyperbole d'équation : qu'il suffit donc de paramétrer ; comme elle passe par l'origine, la technique usuelle est de poser , d'où:

[invite18c42f07]

Hello !

Voilà quelques exemple de changements de variables qui peuvent toujours servir quand on veut calculer Int P(x,y)/Q(x,y) dx

- si y=sqrt(ax+b) on pose t=sqrt(ax+b) d'où x=(t²-b)/a

- si y=sqrt((ax+b)/(cx+d)) on pose t=sqrt((ax+b)/(cx+d)) d'où x=(b-dt²)/(ct²-a)

- si y=sqrt(ax²+bx+c) c'est le cas qui nous intéresse ici. y²=ax²+bx+c, c'est l'équation d'une conique, si a>0 c'est une hyperbole, si a<0 c'est une ellipse.

a>0 : y=sqrt(a)*x +t, d'où x=(c-t²)/(2sqrt(a)t-b) et y= sqrt(a)*((c-t²)/(2sqrt(a)t-b)) +t
a<0 : l'ellipse a deux "racines" (y=0) i1 et i2
y²=a(x-i1)(x-i2) d'où le changement de variable suivant : y=t(x-i1)
on peut prendre i2 à la place de i1, ça se traite de façon analogue!
t²=a(x-i2) d'où l'expression de x(t) et y(t)

En fait l'idée c'est de transformer l'intégrale de P(x,y)/Q(x,y) avec des racines carrées en l'intégrale avec une intégrale plus simple, sans racines carrées. Plus qu'à changer le dx et les bornes et c'est gagné !