Exo suite dans un compact

[parousky]

Bonjour, il y a un raisonnement surement élémentaire mais qui m'échappe quand même !
Comment démontrer qu'une suite d'éléments dans un compact admettant une unique valeur d'adhérence est convergente ?
Merci !
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[Arkhnor]

Bonjour.

Soit x l'unique valeur d'adhérence. On écrit la négation de l'assertion "la suite converge vers x". On en déduit l'existence d'un voisinage ouvert de x qui vérifie une certaine propriété. On construit une sous-suite de la suite considérée dont tous les termes sont dans le complémentaire du voisinage, et on en extrait une sous-suite convergente. On aboutit presque immédiatement à une contradiction.

[parousky]

Pourrais-tu développer un peu ?... Surtout au niveau de la propriété à obtenir ?

[Arkhnor]

La propriété, c'est juste la négation mathématique de la définition de "la suite tend vers x"; en termes topologiques, sans faire appel à la distance, mais juste aux voisinages. J'ai pratiquement tout dit je trouve.

[A voir en vidéo sur Futura]