compact dans IR^2

[invitee75a2d43]

Bonjour,

Dans le cadre d´un chapitre sur les extréma dans mon cours de topologie, il y a un exemple dont un détail m´échappe:

f(x,y) = x⁴ + y⁴ - y³ + x² - 2.y² - 6.x + 3.y

Après recherche des points critiques et calcul des matrices hessiennes, on trouve deux minima locaux, ça ne me pose pas de problèmes. Mais après, pour prouver qu´il existe un minimum absolut, donc qu´un des minima locaux est un minimum absolu, ils écrivent:

On vérifie aisément que - y³ + x² - 2.y² - 6.x + 3.y = o(x⁴ + y⁴) quand Norm(x,y) -> +OO

Ça aussi je comprend. Mais après:

Il en résulte que l´ensemble {(x,y): f(x,y) <= 0} est un compact

C´est cette conclusion que je ne comprend pas.
Ensuite, une fois l´existence du compact établie, c´est facile d´en conclure qu´il existe une minimum absolu.

Merci d´avance
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[invite986312212]

du fait de la condition, la fonction tend vers +infini quand la norme de (x,y) tend vers +infini. donc il existe un N tel que ||(x,y)||>N entraîne f(x,y)>0, et donc {(x,y) : f(x,y)<=0} est inclus dans la boule B(0,N)