Connexité par arcs simlement fermés et par surfaces simplement fermées?

[invite820b86c3]

Salut, je viens de découvrir ce site et je vous remercie d'avance pour votre aide!

Alors je ne comprend pas très bien ce que veut dire un ensemble connexe par surfaces simplement fermées. Par arcs simplement fermés veut dire que pour deux points quelconques situés dans l'ensemble, il existe un chemin fermé (aller-retour) entre ces deux points, est-ce juste?
Je me permet donc de dire que par surface simplement fermées veut dire que pour deux points quelconques situés dans l'ensemble, il existe une surface fermée telle que les deux points sont contenus dans cette surface??

Voici les exemples de mon cours (avec aucune explication...comme si c'est trivial :S ):

(x,y,z): x^2 > 0 est connexe par arcs et surfaces
(x,y,z): x^2 + y^2 > 0 est connexe par surfaces
(x,y,z): x^2 + y^2 + z^2 > 0 est connexe par arcs

Ces exemples ne m'a pas facilité les choses, je ne sais pas comment représenter graphiquement ces ensembles, ce sont des paraboles, cylindres et sphères? Mais ces ensembles comprennent tous les points sauf x=0, x=y=0, x=y=z=0 respectivement. Bref j'ai essayé de regarder ces exemples de plein de façons différentes je n'arrive pas à piger...

Merci beaucoup!
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[Médiat]

Par arcs simplement fermés veut dire que pour deux points quelconques situés dans l'ensemble, il existe un chemin fermé (aller-retour) entre ces deux points, est-ce juste?

Bonjour,

Je pense que vos définitions ne sont pas correctes. Ce que vous appelez "par arcs simplement fermés" me fait penser à "simplement connexe" (et dans ce cas vos exemples sont bons).

Je n'ai jamais vu la notion de connexe "par surfaces simplement fermées", mais je suppose qu'en remplaçant S¹ par S² dans la définition de "simplement connexe", on obtient la définition (et dans ce cas vos exemples sont bons.

Tout cela fait référence à l'homotopie, est-ce le sujet de votre cours ?

[invite820b86c3]

Oui c'est bien 'simplement connexe', désolé de pas avoir été correct dans l'utilisation des termes. Alors on étudie ça en analyse, chapitre sur l'intégration, on n'a pas du tout vu homotopie encore (en tout cas on n'a pas utilisé ce mot).

J'ai appris que si un ensemble est simplement connexe alors c'est un champs conservatif, donc le champs est irrotationnel, pour tout courbe C fermée, simple et orientée, l'intégrale de F.ds dans C est nulle, F possède un potentiel scalaire grad(f).
Définition dans mon cours:
Un ensemble Omega est simplement connexe s'il est connexe et toute courbe fermée C peut être déformée de façon continue en un point P qui appartient à Omega. ie une sphère et une sphère vide sont simplement connexe, un tore ne l'est pas.

Je ne vois pas du tout ce que c'est une déformation, et ce point P... il n'y a aucun graphe donc j'arrive pas à imaginer pourquoi sur une sphère on pourrait 'déformer' des courbes fermées et pas sur un tore...

Ensuite 2-connexe c'est si toute surface fermée orientée peut être déformée de façon continue en un point quelconque P... une sphère et un tore l'est, une sphère vide non.

Incompréhensible pour moi :S

[invite820b86c3]

Ah et je viens de comprendre ce que c'est connexité simple, on m'a donné comme exemple un élastique avec un noeud qui représente un chemin fermé (le noeud est c(0) et c(1)), si on le met sur une sphère, un disque etc on peut le déformer jusqu'à ce qu'il devienne un point. Mais sur une bouée de sauvetage (tore), à cause du trou au milieu on ne peut pas déformer un chemin qui fait le tour du tore.

Mais je n'ai toujours pas compris connexe par arcs/surfaces.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35bd6715]

Je me permets de remonter ce topic car il n'y a pas vraiment eu de réponse et je suis dans le même flou qu'était CBS710.
Alors est-ce que quelqu'un pourrait expliquer, peut-être avec un exemple, la définition de connexité simple par arcs simples fermés et surfaces fermées et leur différence ?

Enfin peut-on savoir si le domaine est simplement connexe au sens des AF ou des SF sans calculs, juste avec une représentation mentale dudit domaine ?

En définition on a cela :

ii)on dira que A est simplement connexe(par arcs fermés) si tout arc fermé T dans A peut etre deformé de façon continue dans A en un point P quelconque de A.

iii) On dire que A est simplement connexe par surface fermées si toute surface fermée S dans A peut etre déformé de façon continue dansA en un point P quelconque de A


merci bien!

[invite35bd6715]

Bonsoir !

Est-ce qu'une âme charitable a une idée sur la question ? (exam demain là-dessus et je bloque toujours..)

merci!