integrales cgt de variables

[invited0d85cc7]

j'ai un souci, on me deande de définir le volume de liquide dans un cylindre couché de longueur L uniquement par le calcul intégral.
Cette fois ci j'ai pris un repère dont le centre est confondu avec le centre du cercle d'extrmité du cylindre.
j'ai appelé h la hauteur de liquide
Je suis donc parti de l'équation : y²+x²=R²
Avec x=(R²-y²) => x=racine carré(R²(1+y²/R²)
donc x=racine carréR(1-y²/R²)


Du coup S(y)= 2Rracine carré(1-y²/R²)*L

Le volume se calcul donc comme suit :

V=2RLintegr(de h-R à -R) ((1-y²/R²)dy

J'ai choisi de remplacer x/R par sint

Donc V= 2RLintegr( de -/2 à arcsin((h-R)/R) (1-sin²t)*Rcost dt

V=2R²Lintegr( de -/2 à arcsin((h-R)/R)cos²t dt

au bout j'obtiens :
V =LR²(arcsin((h-R)/R)+ ((h-R)/R)(1-((h-R)/R)²+/2)

Quelqu'un peut il me donner son avis ?
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[MisterDa]

Bonjour,

je n'ai pas lu tout en détail. C'est une mauvaise idée de partir en coordonnées cartésienne. Comme tu travailles sur un cylindre, il vaut mieux partir sur les coordonnées cylindriques [TEX](r,\theta,z)[\TEX]. Le volume élémentaire est [TEX]dV=rd\theta dr dz[\TEX] que tu intègres.

[God's Breath]

je n'ai pas lu tout en détail.

Sinon, tu te serais aperçu qu'on ne sait pas quel est le volume à calculer... et que les coordonnées cylindriques ne sont pas nécessairement les plus adaptées.

Je pense que c'est le bon vieux problème de l'étalonnage d'une jauge pour mesurer la quantité de liquide contenue dans une cuve cylindrique, de révolution, d'axe horizontal.

[MisterDa]

oups désolé. Effectivement j'ai mal compris le problème. Désolé d'avoir pollué la discussion !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited0d85cc7]

Pas grave mais je n'ai toujours pas d'avis , qu'en pensez vous ?

Mon résultat semble tenir mais c'est vrai ce n'est pas beau!!

[MisterDa]

Je n'ai pas bien capté comment tu as modélisé ton problème. Pour moi le cylindre est couché, c-a-d que l'axe des x est son axe de symétrie. La hauteur d'eau peu alors aller de -R (pas d'eau) à +R (cylindre rempli d'eau)

En partant de là je trouve que le volume est donné par :

V= [R^2*asin(h/R) + h*sqrt(R^2-h^2) + R^2*pi/2]*L

si h=-R, V=0, cylindre vide d'eau
Si h=0, V=R^2*pi*L/2, cylindre à moitié rempli d'eau,
Si h=R, V=R^2*pi*L, cylindre rempli d'eau.

Au final, je ne suis toujours pas convaincu d'avoir répondu à la question.

MisterDa

[MisterDa]

Je viens de voir que tu intègres de h-R à -R. Pourquoi ? Dans mon calcul, j'ai intégré de -R à h

[invited0d85cc7]

J'ai pris l'origine de mon repère au centre du cercle qui fait l'extrémité du cylindre, toi je pense que tu l'a placé à y=-R par rapport au mien

Avec pi/2 a la fin de ma formule, mais je pense que nos deux formules sont trés proches sauf que nous avons placé l'origine de nos repères respectif en décalage
.
Mais je me trompe peut etre
Moi je suis obligé d'intégrer de -R à -R+h puis que le centre de mon repère est O le centre du cercle au bout du cylindre

[MisterDa]

Oui. Enfin j'ai aussi pris le centre du disque comme 0 du repère sauf que je considère la hauteur d'eau h_moi en absolue par rapport aux axes du coup h_moi varie de -R à R.

Toi la hauteur h_toi est la hauteur d'eau par rapport aux points les plus bas du cylindre (la ligne qui est à -R). Et la hauteur varie de 0 à 2R.

Donc on doit juste avoir un offset h_toi = h_moi+R.

Je ne sais pas si on peut avoir des formules plus élégantes mais je ne pense pas.

Cordialement,
MisterDa

[ericcc]

Une discussion intéressante sur le sujet ici : http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=2881