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integrales cgt de variables



  1. #1
    zebulon73

    integrales cgt de variables


    ------

    j'ai un souci, on me deande de définir le volume de liquide dans un cylindre couché de longueur L uniquement par le calcul intégral.
    Cette fois ci j'ai pris un repère dont le centre est confondu avec le centre du cercle d'extrmité du cylindre.
    j'ai appelé h la hauteur de liquide
    Je suis donc parti de l'équation : y²+x²=R²
    Avec x=(R²-y²) => x=racine carré(R²(1+y²/R²)
    donc x=racine carréR(1-y²/R²)


    Du coup S(y)= 2Rracine carré(1-y²/R²)*L

    Le volume se calcul donc comme suit :

    V=2RLintegr(de h-R à -R) ((1-y²/R²)dy

    J'ai choisi de remplacer x/R par sint

    Donc V= 2RLintegr( de -/2 à arcsin((h-R)/R) (1-sin²t)*Rcost dt

    V=2R²Lintegr( de -/2 à arcsin((h-R)/R)cos²t dt

    au bout j'obtiens :
    V =LR²(arcsin((h-R)/R)+ ((h-R)/R)(1-((h-R)/R)²+/2)

    Quelqu'un peut il me donner son avis ?

    -----

  2. #2
    MisterDa

    Re : integrales cgt de variables

    Bonjour,

    je n'ai pas lu tout en détail. C'est une mauvaise idée de partir en coordonnées cartésienne. Comme tu travailles sur un cylindre, il vaut mieux partir sur les coordonnées cylindriques [TEX](r,\theta,z)[\TEX]. Le volume élémentaire est [TEX]dV=rd\theta dr dz[\TEX] que tu intègres.
    Dernière modification par MisterDa ; 15/01/2012 à 14h18.

  3. #3
    God's Breath

    Re : integrales cgt de variables

    Citation Envoyé par MisterDa Voir le message
    je n'ai pas lu tout en détail.
    Sinon, tu te serais aperçu qu'on ne sait pas quel est le volume à calculer... et que les coordonnées cylindriques ne sont pas nécessairement les plus adaptées.

    Je pense que c'est le bon vieux problème de l'étalonnage d'une jauge pour mesurer la quantité de liquide contenue dans une cuve cylindrique, de révolution, d'axe horizontal.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #4
    MisterDa

    Re : integrales cgt de variables

    oups désolé. Effectivement j'ai mal compris le problème. Désolé d'avoir pollué la discussion !

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    zebulon73

    Re : integrales cgt de variables

    Pas grave mais je n'ai toujours pas d'avis , qu'en pensez vous ?

    Mon résultat semble tenir mais c'est vrai ce n'est pas beau!!

  7. #6
    MisterDa

    Re : integrales cgt de variables

    Je n'ai pas bien capté comment tu as modélisé ton problème. Pour moi le cylindre est couché, c-a-d que l'axe des x est son axe de symétrie. La hauteur d'eau peu alors aller de -R (pas d'eau) à +R (cylindre rempli d'eau)

    En partant de là je trouve que le volume est donné par :

    V= [R^2*asin(h/R) + h*sqrt(R^2-h^2) + R^2*pi/2]*L

    si h=-R, V=0, cylindre vide d'eau
    Si h=0, V=R^2*pi*L/2, cylindre à moitié rempli d'eau,
    Si h=R, V=R^2*pi*L, cylindre rempli d'eau.

    Au final, je ne suis toujours pas convaincu d'avoir répondu à la question.

    MisterDa

  8. #7
    MisterDa

    Re : integrales cgt de variables

    Je viens de voir que tu intègres de h-R à -R. Pourquoi ? Dans mon calcul, j'ai intégré de -R à h

  9. #8
    zebulon73

    Re : integrales cgt de variables

    J'ai pris l'origine de mon repère au centre du cercle qui fait l'extrémité du cylindre, toi je pense que tu l'a placé à y=-R par rapport au mien

    Avec pi/2 a la fin de ma formule, mais je pense que nos deux formules sont trés proches sauf que nous avons placé l'origine de nos repères respectif en décalage
    .
    Mais je me trompe peut etre
    Moi je suis obligé d'intégrer de -R à -R+h puis que le centre de mon repère est O le centre du cercle au bout du cylindre

  10. #9
    MisterDa

    Re : integrales cgt de variables

    Oui. Enfin j'ai aussi pris le centre du disque comme 0 du repère sauf que je considère la hauteur d'eau h_moi en absolue par rapport aux axes du coup h_moi varie de -R à R.

    Toi la hauteur h_toi est la hauteur d'eau par rapport aux points les plus bas du cylindre (la ligne qui est à -R). Et la hauteur varie de 0 à 2R.

    Donc on doit juste avoir un offset h_toi = h_moi+R.

    Je ne sais pas si on peut avoir des formules plus élégantes mais je ne pense pas.

    Cordialement,
    MisterDa

  11. #10
    ericcc

    Re : integrales cgt de variables

    Une discussion intéressante sur le sujet ici : http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=2881

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