Bonjour à tous.
Je cherche à démontrer le théorème de Heine sans utiliser le théorème de Heine par l'absurde en considérant que f n'est pas uniformément continue.
Tout d'abord, je dois commencer par montrer qu'il existe deux suites (x(n)) et (y(n)) convergentes telles que (x(n)-y(n)) tende vers 0 et que f(x(n))-f(y(n)) ne tende pas vers 0.
Cependant, comment fait on ???
Merci d'avance de votre aide.
On commence par écrire proprement la définition de «f est uniformément continue», puis on passe à la négation «f n'est pas uniformément continue», et on construit les deux suites en choisissant convenablement les variables universellement quantifiées.
c'est ce que j'ai fais et je trouve bien (x(n)-y(n)) tende vers 0 et que f(x(n))-f(y(n)) ne tende pas vers 0 en ayant choisit abs(x(n)-y(n))<1/n mais celà ne nous dit pas si les suites x et y sont convergentes.
Comment faire s'il vous plait ???
On dispose d'un argument de compacité pour obtenir des suites convergentes.
Je ne connais pas cet argument de compacité. ?!
Je suis en MPSI ^^.
Il faut utiliser le fait que les termes xn de la suite appartiennent au segment [a,b] sur lequel f est définie.
Dans le théorème de Heine, l'espace de départ est compact, donc de toute suite on peut extraire une sous suite convergente (une des définition de la compacité)
on sait que: Pour tout n de N*, x(n) appartient à [a;b] et y(n) appartient à [a;b] mais celà ne dit pas que x et y convergent ???
Les suites elles-mêmes ne convergent pas, mais par extraction...
oui avec le théorème de Bolzano Weierstrass mais ce sont les suites extraites qui convergent et non les suites mères x et y.
Et de plus, comment montrer que les suites x et y ayant pour limite let l' vérifient l=l' ???
On extrait, convergente, de limite
Puis on utilise :
Je ne vous suis pas vraimeny ... ^^
Comment montrer dans un premier temps que qu'il existe deux suites (x(n)) et (y(n)) convergentes telles que (x(n)-y(n)) tende vers 0 et que f(x(n))-f(y(n)) ne tende pas vers 0 avec BW et suites extraites ???
Ensuite, comment montrer que les suites x et y ayant pour limite let l' vérifient l=l' ???
Merci d'avance de votre réponse
La contradiction n'est pas obtenue sur les suites (x(n)) et (y(n)), mais sur les suites extraites.Envoyé par Formule1
Je ne comprends pas du tout votre raisonement.
Pouvez vous me détailler la première question tout d'abords puis ensuite la seconde.
On cherche à établir l'existence de deux suites (u(n)) et (v(n)) telles que : (u(n)) et (v(n)) convergent vers la même limite et (f(u(n))-f(v(n))) ne converge pas vers 0 afin d'obtenir une contradiction avec la continuité de f.
En utilisant la négation de l'uniforme continuité, on commence par construire deux suites (x(n)) et (y(n)) telles que : (x(n)-y(n)) converge vers 0 et (f(x(n))-f(y(n))) ne converge pas vers 0.
Comme les suites (x(n)) et (y(n)) peuvent être divergentes, on construit les suites (u(n)) et (v(n)) par extraction via le théorème de Bolzano-Weierstrass.
je ne vois pas votre passage de u,v à x,y.
Pourriez vous être plus explicite.
On ne passe pas de (u,v) à (x,y).
On construit (x,y) comme tu l'as fait.
On construit (u,v) par extraction et on oublie (x,y).
On conclut avec une contradiction sur (u,v).
Ce que tu ne sembles pas voir, c'est que les suites x et y ne servent pas directement à conclure.
oui mais je ne veux pas démontrer le théorème de Heine en un coup .
En réalité, j'ai 3 questions auxquelles je doit répondre:
1/Montrer qu'il existe deux suites (x(n)) et (y(n)) d'éléments [a;b], convergentes, telles que (x(n)-y(n)) tende vers 0 et que f(x(n))-f(y(n)) ne tende pas vers 0.
2/ On note x et y les limites respectives des suites (x(n)) et (y(n)). Démontrer que x=y
3/ En déduire que (f(x(n)))n et (f(y(n)))n convergent vers une limite commune, puis aboutir à une contradiction.
Merci d'avance en espèrant éclaircir la situation.
PS: désolé de ne pas avoir été clair dès le début.
Il faut s'adapter aux notations de l'énoncé ; je change donc mes notations précédentes.
On utilise la négation de l'uniforme continuité : il existe deux suites (u(n)) et (v(n)) telles que (u(n)-v(n)) converge vers 0 et (f(u(n))-f(v(n)))...
Mais ces suites ne sont pas nécessairement convergentes...
On extrait de (u(n)) une suite (x(n)) convergente via le théorème de Bolzano-Weierstrass.
La même extraction fournit une suite (y(n)) à partir de (v(n)).
L'extraction assure que (x(n)-y(n)) converge vers 0 et (f(x(n))-f(y(n)))...
Et il reste à prouver que (y(n)) converge, ce que l'on obtient en écrivant : y(n)=x(n)-[x(n)-y(n)].
Pourquoi prouver que (y(n)) converge, ce que l'on obtient en écrivant : y(n)=x(n)-[x(n)-y(n)] ???
On a x et qui convergent grace à BW. Cependant, BW ne donne pas (x(n)-y(n)) converge vers 0 et (f(x(n))-f(y(n))) divergent (????)
Question: comment utiliser y(n)=x(n)-[x(n)-y(n)]. ???
Pouvez vous m'aider pour la suite ?
Non, mais en partant d'une suite (u(n)-v(n)) convergente, la suite extraite (x(n)-y(n)) converge également.
Quant à la suite (f(x(n))-f(y(n))), il faut voir ce qu'en dit la négation de l'uniforme continuité de f.
