Calcul de sommes

[invite856a0e25]

Bonjour,

Dans le cadre d'un exercice, je dois calculer certaines sommes, cependant, je bloque très vite. :/
Je vous fournit donc l’énoncé :

Soit
J'ai prouvé que la fonction est linéaire de (ensemble des fonctions continues de dans ) et qu'elle est également continue.

Ensuite, on me demande de calculer pour , et .

J'ai réussi à le faire pour (je trouve un résultat égal à ), mais je n'y parviens ni pour , ni pour . Je suppose que ces deux calculs nécessitent une méthode similaire.


Je vous serais donc très reconnaissant si vous acceptiez de me mettre sur la voie afin que je puisse réussir ces calculs-là.


En vous remerciant d'avance,




Mezame.
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[invite856a0e25]

Je pense avoir trouvé la solution pour (je trouve )
En revanche, je cherche toujours pour .
Un petit coup de pouce ne serait pas de refus.

D'avance merci,

Mezame.

[Armen92]

Définir la fonction avec deux variables et en remplaçant l'un des par , manipuler convenablement les deux premières dérivées par rapport à et faire dans le résultat ainsi obtenu.

[invite856a0e25]

Très bien mais je ne comprends pas vraiment pourquoi il serait nécessaire de dériver ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Armen92]

... pour faire apparaître les puissances de [TEX]k[TEX]dans chaque terme de la sommation.

[invite856a0e25]

Très bien, je m'y mets immédiatement et je vous ferais part de ce qu'il en est, alors.
Merci beaucoup pour votre aide.

[invite856a0e25]

J'ai donc
En l'écrivant avec x et y, on obtient :

Je dérive une première fois par rapport à x :

Puis une seconde :

Puis je remplace y par x :


Et je ne vois malheureusement toujours pas comment je pourrais appliquer cela aux cas et ...

(Je viens par ailleurs de me rendre compte que j'ai fait une erreur lors de mon calcul pour , et que, par conséquent, je n'en ai toujours pas le résultat... )


Encore merci pour votre aide, Armen92.

[Armen92]

J'ai donc
En l'écrivant avec x et y, on obtient :

Je dérive une première fois par rapport à x :

Puis une seconde :

Puis je remplace y par x :


Et je ne vois malheureusement toujours pas comment je pourrais appliquer cela aux cas et ...

(Je viens par ailleurs de me rendre compte que j'ai fait une erreur lors de mon calcul pour , et que, par conséquent, je n'en ai toujours pas le résultat... )


Encore merci pour votre aide, Armen92.

Je me suis mal exprimé ; si , , donc la somme est la dérivée par rapport à de la fonction avec , somme qui est triviale. Si , ; en écrivant , on voit apparaître une combinaison linéaire des deux premières dérivées.
Correct ?

[invite57a1e779]

Bonjour,

Il ne faut pas partir avec , mais avec :



On dérive une première fois par rapport à x :



et il faut raccrocher cette égalité au calcul de pour .

[invite856a0e25]

Oh, je comprend beaucoup mieux ! Merci beaucoup à tous les deux, je m'y atèle avec cette méthode sur le champ !
Encore merci !

[invite856a0e25]

Bonjour,

Il ne faut pas partir avec , mais avec :



On dérive une première fois par rapport à x :



et il faut raccrocher cette égalité au calcul de pour .

En procédant de la sorte, voici ce que j'obtiens pour :

\frac{\partial F_n}{\partial x} (x,y) = n(x+1-y)^{n-1} = {\sum_{k=0}^n {n \choose k} kx^{k-1}(1-y)^{n-k}}



Donc

[invite57a1e779]

Il me semble qu'il manque un facteur :

[invite856a0e25]

Il me semble qu'il manque un facteur :

Effectivement, j'obtiens donc :



Merci beaucoup !

[invite856a0e25]

Et donc, pour , je fais :



Or (car )

Donc

Et je pense que je n'ai pas fait d'erreur de calcul, cette fois-ci.



Encore merci pour votre aide qui me fut d'une extrême utilité !!