norme matricielle rayon spectral...

[membreComplexe12]

Salut tous,

je suis novice en math et j'essai de m'autoformer...
j'aimerai comprendre qu'es ce qu'une norme matricielle est comment elle est liée au rayon spectral (plus grande valeur propre de la matrice), en fait j'essai de comprendre les elements de cette page web :
http://www.math-info.univ-paris5.fr/...tionnement.pdf

=> j'ai bien compris la definition d'une norme vectorielle et des différentes normes 1,2,p, inf...

=> pour une normal matricielle (extension du cas vectoriel apparemment) j'ai moins bien compris (pas du tout même)
-pourriez vous me dire comment on arrive aux différentes expression notés sur ce document ?
- sutout j'aimerai comprendre la demonstration de comment on arrive à la norme 2 qui est defini en fonction du rayon spectral...

je vous remercie d'avance pour votre aide
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[Seirios]

Bonjour,

Les espaces matriciels sont en particulier des espaces vectoriels, donc l'on peut définir une norme sur ces espaces de même que sur tout espace vectoriel. Mais les espaces matriciels sont plus que des espaces vectoriels : ce sont des anneaux, ils possèdent un produit interne. Comme une norme définit une topologie sur l'espace, on aimerait bien que ce produit matriciel soit continu, et une condition suffisante pour que ce soit le cas est la condition supplémentaire : .

Un exemple important de normes matricielles sont les normes subordonnées (mais toutes les normes matricielles ne sont pas de cette forme), à cause de la caractérisation de la continuité des applications linéaires. Ainsi, plus généralement, ce sont des normes assez naturelles sur les espaces d'applications linéaires continues, développés en analyse fonctionnelle (grand domaine des mathématiques).

Pour l'égalité de la norme 2, on procède généralement comme suit :

On remarque que .

Ensuite, si est un vecteur propre unitaire de de valeur propre maximal, alors , donc .

Pour l'inégalité inverse, on remarque que est symétrique, et donc diagonalisable. On se donne alors une base orthonormée de vecteurs propres , de valeurs propres respectives . Tout vecteur unitaire se décompose alors sous la forme . Par conséquent, . Or , donc . Or et . On en déduit donc que .

Les autres égalités se démontrent également en montrant successivement les deux inégalités.

[membreComplexe12]

merci beaucoup pour cette reponse très intéressante !!! je vais revoir ce que tu viens de me dire et je pense que je vais avoir deux trois questions...

[membreComplexe12]

Pour l'égalité de la norme 2, on procède généralement comme suit :

On remarque que .

Ensuite, si est un vecteur propre unitaire de de valeur propre maximal, alors , donc .

1°) j'ai pas compris qu'es ce qu'une norme de matrice, pourquoi il y a ce vecteur "U" et comment choisir ce U et pourquoi... ?

2°) c'est surement facile mais je ne vois pas pourquoi

3°) à la fin tu as montré (je n'ai pas encore tout compris) que la norme 2 est inferieur ou egala à rho(A*A) alors qu'un peu plus haut tu as montré le contraire...?

[A voir en vidéo sur Futura]

[MisterDa]

1°) Ici la norme est définie à partir de la norme d'un vecteur (c'est ce qu'on appelle parfois norme induite). Donc par définition la 2 norme induite est [TEX]||A||_2= \sup\limits_{||u||_2=1} ||Au||_2[\TEX]. Tu prends tous les vecteurs u qui ont une norme unitaire. Tu calcules les nouveaux vecteurs [TEX]Au[\TEX] et en prend la norme 2. Par définition, la plus grande de ces normes sera la norme 2 de ta matrice.

2°) Cette égalité est obtenue quand $u$ est le vecteur propre ne norme 1 associé à la valeur propre qui à le plus grand module.

3°) Ce qui a été montré c'est que un coup c'est inf ou égale, l'autre coup c'est sup ou égale...moralité, la seule possibilité pour que les deux cas soit vrai c'est que ça soit égale.

[membreComplexe12]

super, merci Da pour ces explications! (que j'aime beaucoup egalement)

1°) Ici la norme est définie à partir de la norme d'un vecteur (c'est ce qu'on appelle parfois norme induite). Donc par définition la 2 norme induite est . Tu prends tous les vecteurs u qui ont une norme unitaire. Tu calcules les nouveaux vecteurs [TEX]Au[\TEX] et en prend la norme 2. Par définition, la plus grande de ces normes sera la norme 2 de ta matrice.

=> d'accord, je comprends le principe. Par contre, en pratique, on ne peut pas connaitre ces normes (si on voulait réellement la calculer analytiquement), je dis ceci car il faudrait pouvoir test=> er une infinité de vecteur de norme 1 car à priori on ne sais pas quel est celui qui va donner le "sup"

2°) Cette égalité est obtenue quand $u$ est le vecteur propre de norme 1 associé à la valeur propre qui à le plus grand module.

=> ok, je vois le truc mais j'ai besoin d'un petit raffrachissemnt de memoire... c'est donc un des vecteurs qui compose la matrice de passage
=> du coup si je multiplie ce vecteur par la matrice A j'obtiens le vecteur de la matrice diagonale qui a la plus grande composante ?

=> si ce que j'ai dis est juste j'ai bien compris, à un detail près : ce vecteur qui donne la plus grande valeur propre n'est pas forcement le vecteur qui donne la plus grande norme ????
=> ça veut donc dire que ce vecteur ne respect pas la definition de la norme matriciel qui est sup.....
=> pour que la definition de la norme que tu m'as dis soit bien respectée il faut que ce vecteur U qui donne la + grande valeure propre soit egalement le vecteur qui donne la plus grande norme ???

3°) Ce qui a été montré c'est que un coup c'est inf ou égale, l'autre coup c'est sup ou égale...moralité, la seule possibilité pour que les deux cas soit vrai c'est que ça soit égale.

=> ok je comprends super

[MisterDa]

"Par contre, en pratique, on ne peut pas connaitre ces normes"
Comme disait Woody Allen : "L'éternité c'est long, surtout vers la fin"...

"si ce que j'ai dis est juste j'ai bien compris, à un detail près : ce vecteur qui donne la plus grande valeur propre n'est pas forcement le vecteur qui donne la plus grande norme ????"

Tout à fait, c'est pour cela que notre très cher collègue Seirios a dit "donc ." En gros on a trouvé un vecteur pour la quelle la norme est donc on sait que cette norme ne peut pas être inférieure à cette valeur. Mais à ce stade de la compétition on ne peut pas en dire plus et a priori on ne sait pas si c'est avec ce vecteur que l'on a le max.

Pas trop compris ton histoire de matrice de passage (je suppose que c'est la matrice de passage pour diagonaliser la matrice . Et la phrase "ce vecteur qui donne la plus grande valeur propre " est curieuse.

Bref, plus simplement, un vecteur propre v d'une matrice M associé à la valeur propre a est un vecteur qui vérifie Mv=av.

[membreComplexe12]

merci j'ai tout compris à présent
=> merci beaucoup tous pour votre aide !!!!!!!

juste une dernière question :
=> en général, on dit qu'un algorithme ne peux converger que si dans la relation si dessous est inférieur ou egale à 1 ( est la plus grande valeure propre du systeme)


=> en fait l'algorithme est defini par la relation de récurrence , et l'on cherche une condition sur A pour que cette suite converge.
=> en fait, en mecanique cette condition est très souvent evoquée mais je ne sais pas la demontrer (à partir des elemnts que vous avez donné ci dessus) et je ne sais pas si il y a des hypothèses sur A (symétrique par exemple) à priori il n'y a aucune hypothèse sur A (j'en suis presque certain...)

pourriez vous me montrer comment demontrer ceci ? merci

[MisterDa]

Et si on écrit :

[Seirios]

Ce qui suppose que l'on travaille avec la norme 2 et que A soit symétrique.

[membreComplexe12]

Et si on écrit :

1°) je n'ai pas bien compris pourquoi on a ceci.... vu ce que l'on a écrit plus haut je m'attendais à avoir mais

2°) sinon, on retrouve bien ce que je disais au depart puisque si on a
alors on a bien

car la relation de récurrence permet d'ecrire aussi : ....?

Ce qui suppose que l'on travaille avec la norme 2 et que A soit symétrique.

=> OK pour la norme 2 je comprends
=> pour le coup du symetrique j'ai pas trop compris encore....

ps: au fait juste un autre truc pour etre sur que j'ai compris:
Si on dit que le rayon spectrale doit etre compris entre -1 et 1 c'est parsque sinon dans notre relation de recurrence :


si est supérieur à 1 alors la prochaine iteration ne sera pas plus petite que la precedente et ceci est synonime de non convergence ?
si c'est egale à 1 alors l'algorithme reste ou il est...

je viens juste de comprendre un autre truc :

=> on dit qu'on algorithme est stable si la matrice A est bien conditionnée et si le schema est consistant

- pour le consistant je ne sais pas le montrer mathematiquement mais c'est assez intuitif...
- par contre ce que l'on vient de dire plus haut me permet de rattacher les morceaux car je me rappel que le conditionnement d'une matrice dépend de ces valeurs propres !!!
du coup on doit pouvoir faire un lien entre le conditionnement d'une matrice et la relation de convergence que l'on a mis juste au dessus

[MisterDa]

"1°) je n'ai pas bien compris pourquoi on a ceci.... vu ce que l'on a écrit plus haut je m'attendais à avoir mais "

Comment peux tu réécrire la quantité avec ce que vient de dire Seirios (que je salue, j'avais oublié de le préciser) : matrice A symétrique ?

"Si on dit que le rayon spectrale doit etre compris entre -1 et 1"
Vu la définition du rayon spectrale, peut-il être négatif ?

Sinon pour le reste, n'oublie pas qu'il s'agit d'une inégalité. J'ai l'impression que tu raisonnes comme si il était question d'une égalité.

[membreComplexe12]

"1°) je n'ai pas bien compris pourquoi on a ceci.... vu ce que l'on a écrit plus haut je m'attendais à avoir mais "

Comment peux tu réécrire la quantité avec ce que vient de dire Seirios (que je salue, j'avais oublié de le préciser) : matrice A symétrique ?

=> ah ok, je suis bête ! si la matrice est symetrique alors la plus grande valeur propre de sera le carré de la valeur propre de
=> merci, j'ai compris à présent cette relation

"Si on dit que le rayon spectrale doit etre compris entre -1 et 1"
Vu la définition du rayon spectrale, peut-il être négatif ?

=> la definition du rayon spectral () : plus grande valeur propre de [A]
=> du coup, vu que [A] n'est pas forcement une matrice definie positive (à part si une matrice symétrique est forcement aussi une matrice definie positive)
=> alors les valeurs propres ne sont pas forcement positive ?
=> dans tous les cas on ne doit pas avoir de rayon spectrale supérieure à 1, c'est bien juste cette affirmation

Sinon pour le reste, n'oublie pas qu'il s'agit d'une inégalité. J'ai l'impression que tu raisonnes comme si il était question d'une égalité.

=> en effet, je me plante un peu peut etre de temps en temps en raisonnant en egalité...

Merci beaucoup de ton aide Mister Da (et toi aussi Seistos)
=> du coup la relation que j'ai n'est vrai que si la matrice A est symétrique, si elle n'est pas symétrique alors ça sera un peut près pareil sauf qu'il faudra (pour avoir convergence de la recurr=> ance) ce terme inférieur à 1 : et tous le reste du raisonnement est similaire.

Dernière question :
=> par contre j'ai encore du mal à trouver le lien entre le conditionnement de la matrice [A] et la convergence du schéma (convergence = stabilité?)
=> le condionneemnt de la matrice [A] est du coup je vois bien qu'il y a quelque chose de possible pour relier ce condionnement et le rayon spectral dont nous
=> avons parlé juste au dessus pour la convergence du schéma...
=> j'ai cru comprendre en fouillant sur le net que l'on pouvons demontrer (pour une matrice quelconque) que le condionnement est aussi egale au plus grand rapport des valeurs
=> propre de [A] (je ne vois pas comment arriver à cette conclusion)
=> et que l'on peut aussi montrer pour une matrice symétrique que le conditionnement est tous simplement egale au rayon spectral de [A] (donc la plus grande valeur propre)

[MisterDa]

Pour le rayon j'ai en tête
Autrement la norme 2 d'une matrice A symétrique (étant égale au rayon spectrale de A) pourrait être négatif ce qui ferait mauvais genre.


"si une matrice symétrique est forcement aussi une matrice définie positive"
Prend une matrice diagonale dont au moins une entrée est négative


Pour le conditionnement j'ai la sensation qu'il y a une confusion.
Il y a d'une part la convergence "formelle" de la récurrence qui entrainera la stabilité de ton système dynamique en temps discret.
Et d'autre part il y a la stabilité numérique. En gros, si ta matrice A est mal conditionnée tu risques d'avoir des problèmes numériques (une petite perturbation sur un vecteur x pourra avoir de grande conséquence quand tu calculera Ax si A est mal conditionnée) ou encore la matrice multipliée par son inverse ne sera pas égale à l'identité...

"je vois bien qu'il y a quelque chose de possible pour relier ce conditionnement et le rayon spectral..."
De mémoire le conditionnement est le ratio entre la plus grande et plus petite valeur singulière (et non propre). Si ta matrice est symétrique, tu dois pouvoir te ramener aux valeurs propres en valeur absolue mais ce n'est qu'un cas particulier)

En espérant ne pas avoir dit trop de bêtise car c'est loin dans mon esprit.

[membreComplexe12]

merci beaucoup misterDa de prendre autant de temps pour m'aider c'est tres gentil !!!!

Pour le rayon j'ai en tête
Autrement la norme 2 d'une matrice A symétrique (étant égale au rayon spectrale de A) pourrait être négatif ce qui ferait mauvais genre.

ah oui en effet, j'ai vérifié sur wiki, tu avais raison... en fait j'avais zappé la valeure absolue

"si une matrice symétrique est forcement aussi une matrice définie positive"
Prend une matrice diagonale dont au moins une entrée est négative

=> à oui, ok j'ai compris

Pour le conditionnement j'ai la sensation qu'il y a une confusion.
Il y a d'une part la convergence "formelle" de la récurrence qui entrainera la stabilité de ton système dynamique en temps discret.

=> ok je pense avoir saisi ce que tu veux dire

Et d'autre part il y a la stabilité numérique. En gros, si ta matrice A est mal conditionnée tu risques d'avoir des problèmes numériques (une petite perturbation sur un vecteur x pourra avoir de grande conséquence quand tu calculera Ax si A est mal conditionnée) ou encore la matrice multipliée par son inverse ne sera pas égale à l'identité...

=> en fait ce que j'essai de comprendre ici c'est le lien entre stabilité numérique et condionnement. J'ai lu un peu sur le net et pour qu'il y ai stabilité numérique il faut que le schéma soit
=> consistant et que la matrice soit bien conditionnée.
=> en fait je cherche à démontrer ceci mais je n'y arrive pas et tout les choses que vous m'avez expliqué jusqu'ici me permet de m'approcher petit à petit de ce but

De mémoire le conditionnement est le ratio entre la plus grande et plus petite valeur singulière (et non propre). Si ta matrice est symétrique, tu dois pouvoir te ramener aux valeurs propres en valeur absolue mais ce n'est qu'un cas particulier)

=> Moi il me semblait que le condionnement etait le rapport des + grandes et + petites valeurs propres...
=> c'est quoi déjà une valeure singulière ?

[membreComplexe12]

je me suis trompé désolé :

=> pour converger un schéma numérique doit être stable et consistant !
=> le conditionnement n'a rien à faire ici ! (il sert juste à déterminer la précision du calcul)