new problème de récurrence avec un peu de pgcd

[invitebc918133]

Rebonjour,

Voici l'énoncé:

"Montrer par récurrence que: (1+2^1/2)ⁿ= a_n+b_n*2^1/2 où a_n et b_n sont des entiers premiers entre eux."

J'ai mis puissance 1/2 car je ne sais pas comment faire les racines mais bon on s'en fout c'est pareil ^^

J'ai fait ma récurrence et j'arrive à :

(1+2^1/2)ⁿ⁺¹=a_n+2*b_n + (a_n + b_n)*2^1/2.

comment montrer que: pgcd(a_n+2*b_n, a_n + b_n) = 1 ?

Merci de m'aider,

bac30
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Si divise et , il divise leur différence...

[invitebc918133]

Mouais mais c'est quoi d ? Je ne comprends pas ton indice ^^ tu pourrais l'expliciter un peu?

Merci

[invitebc918133]

Voilà ce que j'ai fait pour démontrer que pgcd(a_n+2*b_n, a_n+ b_n) = 1 :

a_n+2b_n=(a_n+b_n)*1+b_n. (pour (a_n+2b_n)/(a_n+b_n))

a_n+b_n=bn*1+a_n. (pour (a_n+b_n)/b_n)

ensuite on a b_n/a_n ça ne sert à rien d'aller plus loin puisqu'on sait que a_n^b_n=1 ==> (a_n+b_n)_^b_n=1 ==> (a_n+2b_n)_^(a_n+b_n)=1 CQFD !!

Ca marche non ?

Merci,

[A voir en vidéo sur Futura]