espace dual

[ebolamath]

dur dur je comprend pas grand chose a ce chapitre
soit B la base canonique de R3[X]
(1,X,X²,X^3)
soit B* = (e0*,e1*,e3*,e4*) dual de B
deja je voilais explicité les e*. en fesant une analogie avec les dual dans R^n je me doute que e1* = 1 e2*=1/X e3*=1/X²e4*=1/X^3 mais je n'arrive pas a l'expliquer correctement. ( enfin si c'est bien ca )

ensuite je doit exprimer diferent phyi(P) dans cette base dual
phy1=P(1)
phy2=P(-1)
..
ce qui devrai allé si jarriv a bien comprendre commen on consruit cette base dual

help plz
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[ebolamath]

~quelqun peu maider pour exprimer les phy i dans la base dual cest trop dur en fait ~~

[ebolamath]

bon ok c samedi

[MisterDa]

j'ai pas compris ça hy1=P(1) phy2=P(-1)
classiquement on a plutôt non ?
Sinon, essaye de voir du cotés des polynômes d'interpolation de Lagrange

[A voir en vidéo sur Futura]

[ebolamath]

nan c juste
phy1(P) = P(1)
phy2(P)=P(-1)
phy3 (P)= 1/2 integrale de P(t)dt entre -1 et 1
phy4(P)= integral de tP'(t)dt en,tre -1 et 1

par exemple la question precedente etais montrer que P0=X^3 - X apartien a kerphy1 inter ker phy2 ... inter ker phy4
jai donc calculer phy1(P0)= 1^3 - 1 = 0
etc..

apres jen ai deduis que la famille phy 1 phy 2 phy 3 phy 4 n'etait pas libre .

et là on me demande les coordoné de chak phy i dans la base B* (dual de B) ou B est base canonique de R3[X]

[God's Breath]

Bonjour,

La base duale de , c'est tout simplement les formes coordonnées dans la base .

Si et , alors :



Ensuite, il suffit de remplacer les coordonnées du polyôme dans la base , c'est-à-dire les coefficients de par les expressions précédentes en fonction de la base duale.

Par exemple :

c'est-à-dire :

[MisterDa]

oups j'étais à coté de la plaque. Désolé pour la pollution et merci God's Breath.

[albanxiii]

Bonjour,

bon ok c samedi

C'est surtout que vous ne respectez pas la charte que vous vous êtes engagé à respecter en vous inscrivant : quand on arrive quelque part, on dit bonjour, et quand on demande quelque chose, on dit s'il vous plait.

Bonne journée.

[ebolamath]

merci pour ta reponse clair god's breath !
ps:dsl de pas avoir dit bonjour

[ebolamath]

en fait je ne vois pas trop pourquoi e1*(P)=a je sait juste que e*i(ej)=delta i,j.

[Weensie]

La base duale, c'est, comme te l'a dit God's Breath, c'est la famille des formes coordonnées.
Soit une base de . Un polynôme exprimé dans cette base sera de la forme: .
Puisque , ( appliqué aux autres vecteurs valant 0).

[Weensie]

La base duale, c'est, comme te l'a très bien dit God's Breath, la famille des formes coordonnées.
Soit une base de [X]. Un polynôme exprimé dans cette base sera de la forme: .
Puisque , ( appliqué aux autres vecteurs valant 0).

[ebolamath]

okok j'ai bien compris (algébriquement tout du moins pasque je panne rien à ce qui ce passe) ce chapitre est bien abstrait quand meme
et la famille des formes coordonées c'est la première fois que je rencontre cette formule qu'entends tu par là ? pour moi c'est léspace vectoriel des formes linéaires de E
edit:j'ai confondu l'éspace et la base sorry
edit2: ha ok c'est ce que siginfie la formule ei*(x)=xi

[Weensie]

Si tu veux, l'espace dual d'un espace vectoriel E, c'est l'espace vectoriel des formes linéaires de E (applications linéaires de E dans le corps de base, R ou C par exemple).
Donc, faut bien faire correspondre à un vecteur de E un scalaire. La définition de la base duale fonctionne assez bien je trouve pour ça.
En effet, si tu prends une base de E, tout vecteur x de E s'écrit . (Les seules contributions qu'aurait x aux réels ce serait par ses coordonnées en quelque sorte).
Donc si tu prends une forme linéaire , .
Après tu veux trouver une base de l'espace vectoriel de tes formes linéaires, c'est à dire que toute forme linéaire doit s'écrire comme combinaison linéaire des , à savoir: . Il faut donc que tes renvoient un réel à un vecteur. Tu auras donc . Si tes alpha i sont définis comme étant les formes coordonnées tu vois que ça simplifie beaucoup les choses...

[Weensie]

Je précise: j'ai implicitement admis que E et E* avaient même dimension (c'est une partie du théorème d'Erdös-Kaplansky), puisqu'ils sont de dimension finie.