Résoudre 4x²y³ + cos(x+y) = 0

[invite311a0156]

Bonjour à tous. J'aimerais trouver les couples (x,y) pour lesquels on a 4x²y³ + cos(x+y) = 0.

J'ai essayé de mettre le cosinus à gauche de l'égalité, puis de tout mettre au carré ; ensuite de dériver pour avoir sin(x+y) et de tout mettre au carré : l'addition des deux donne 1. Mais la solution que je trouve est fausse (je trouve x=2y/3, ce qui est faux, suffit de vérifier pour x = 2/3 et y = 1)....

Ma méthode était-elle bonne, et si non, pourquoi ? Comment résoudre cette équation ?

Merci d'avance !
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[invite57a1e779]

La méthode est fausse ; tu cherches à déterminer les points en lesquels une fonction s'annule : tu ne peux pas savoir si la dérivée s'annule aussi en ces points.

Avec un exemple simple : tu veux résoudre x²-1=0, tu ne peux pas en déduire, par dérivation, 2x=0.

[invite311a0156]

C'est juste ! Mais comment faire alors pour se "débarrasser" du cosinus ?

[inviteea028771]

Vu la tête de la courbe que cette équation défini, je doute que tu trouves une solution analytique:

Le tracé sur wolfram alpha

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite311a0156]

En effet, j'avais déjà jeté un oeil et ça ne m'avait pas rassurée...
L'énoncé exact de mon exercice est en fait : "Déterminer les points (a,b) de R² au voisinage desquels l'équation x²y⁴ + sin(x+y) = 0 (C) définit une fonction implicite y = phi(x)". J'avais donc appliqué la condition de non dégénérescence df/dy != 0, d'où l'équation en titre de ce sujet.

Cet énoncé est donc insoluble ?

(On nous demande après de déterminer l'allure de C en (0,0), et en effet le point (0,0) respecte la condition de non dégénérescence, mais ce n'est qu'une solution parmi d'autres !)

[Tiky]

Les fonctions implicites comme leur nom l'indique sont des fonctions qu'on ne peut pas a priori exhiber. Revois l'énoncé du théorème des fonctions implicites.