Justification pour norme de la convergence uniforme

[invite31dc2028]

Bonjour à tous.

Je dois comme premiere question d'un DM expliquer pourquoi la norme infinie est une norme sur E.

Sachant que E est le R-ev C([0,1],R) des applications numériques continues sur [0,1] avec f appartient à E.

la norme infinie etant donc sup(|f|) quand x appartient à [0,1].


Je pourrais pour répondre à la question revenir à la definition d'une norme et montrer que c'est une norme, mais la question est simplement "expliquer pourquoi" et il y a surement une facon plus "élégante" pour montrer le résultat.

Vous avez une idée ??
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[Seirios]

Bonjour,

Je pense que la question est de montrer que la norme infinie est bien définie, et que l'on suppose qu'il est clair qu'alors les propriétés des normes sont vérifiées. Donc selon moi, la réponse est simplement : [0,1] est compact, donc toute fonction continue est bornée sur [0,1] et ainsi le sup est bien fini.

[invite31dc2028]

Et cela suffit pour répondre à la question ? La borne sup est finir ça ne dit pas que c'est une norme, si ??

[Seirios]

Si tu veux être sûr de répondre complètement à la question, tu peux montrer que l'application définit bien une norme.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite31dc2028]

Je vais me contenter de la justification, ça devrait être suffisant.. Vu comment la question est posée.
Je me pose deux questions aussi :

La première : comment montrer que pour tout f appartenant à E, ||f||2 =< ||f|| infini ?

Dois je poser une fonction g = ||f||2 et dire que g=<sup g ?

Est ce bon ?

Puis la deuxième.

On a une fonction qn(x) = sqrt(n)*x^n

J'ai montre que (qn) Cv vers q=0 pour la norme 1.

Puis se pose la question : "à ton pour tout x de [0,1], q(x)= lim qn(x) (n tend vers +infini) ?

[inviteea028771]

Pour la première, il suffit de revenir à la définition de la norme 2 et de majorer brutalement la fonction à l'intérieur de l'intégrale par sa norme infinie

Pour la seconde question, que se passe t'il pour x=1?

[invite31dc2028]

C'est ce que j'ai fait pour la premiere, j'ai posé M le sup de f(x).

J'ai dit que f(x) =< M Donc ||f||2 =< M avec les justifications necessaires. ( croissance de lintegrale et de la racine ? C'est bien ça ?).


Pour la deuxieme je me suis permis de créer un nouveau post, plus approprié pour le forum.

En x=1, on a q(1) = 0 ??? et de l'autre coté +infini.

Je ne comprends pas trop qu'est ce que q, un nombre fini qui fait l'objet de la fonction nulle ?

Qu'est ce que q_n(x) au juste ? Une fonction avec x comme variable mais qui depend de n ?