Dénombrement

invite2ec0a62b · 29/01/2012, 14h16

Bonsoir tout le monde,
si on a une ensemble E de cardinal n différent de 0, on note $\text{[math]}$ le nombre de partition de E en convenant que $\text{[math]}$
Soit un élément a de E. Et soit $\text{[math]}$ une partition quelconque de E. On suppose que $\text{[math]}$ . En raisonnant sur le cardinal de A₁, montrer que pour tout $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
Ce serait gentil de m'aider à comprendre cet exercice qui me permettra de comprendre mon cours de dénombrement.

inviteea028771 · 29/01/2012, 16h37

L'idée c'est de s’intéresser à l'élément a.

On cherche le nombre de partitions de $\text{[math]}$ , pour cela, on va chercher le nombre de partitions de $\text{[math]}$ tel que le sous ensemble qui contient $\text{[math]}$ a $\text{[math]}$ éléments, puis on va faire la somme sur $\text{[math]}$ .

Il y a $\text{[math]}$ façons de choisir les éléments de cet ensemble à $\text{[math]}$ éléments qui contient $\text{[math]}$ (en effet, $\text{[math]}$ est déjà choisi), et il y a, par définition, $\text{[math]}$ façons de partitionner le reste.

Il y a donc $\text{[math]}$ partitions pour lesquelles $\text{[math]}$ possède $\text{[math]}$ éléments.

On en déduit que $\text{[math]}$

On a alors, en posant $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

Et comme $\text{[math]}$ , on obtient :

$\text{[math]}$

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