Démonstration d'une distance sur E

[invite0fd5e1c6]

Bonsoir,

Voila un petit exo,

On sait que (E,d) un espace métrique, soit , je vais montrer que D est aussi une distance sur E. Je le montre comme suivant:
Pour que D soit une distance, on va montrer trois choses

1. D(x,y)=0 <=> x=y (facile)
2. D(x,y)=D(y,x) (facile)
3. D(x,y) D(x,z)+D(z,y) (pas évident!)

Donc il me reste à démontrer le troisième propriété, et dans ce cas l'exo donne quelques indications pour montrer cela.

"On posera pour , on montera que
a) f croissante, f' décroissante sur R+
b) Pour tous u,v positifs ou nuls, (Pour ça on étudie , v fixé)"

Pour le a) je l'ai montré sans problème, c'est le b) qui me bloque. Je n'arrive pas à voir comment F(u) fonctionne.
Et si on a prouvé a) et b), on a déjà ? Je n'ai pas vu la conséquence... J'ai envie de vos idées sur ça

Merci d'avance
-----

[invitec1242683]

Bonsoir,

Voila un petit exo,

On sait que (E,d) un espace métrique, soit , je vais montrer que D est aussi une distance sur E. Je le montre comme suivant:
Pour que D soit une distance, on va montrer trois choses

1. D(x,y)=0 <=> x=y (facile)
2. D(x,y)=D(y,x) (facile)
3. D(x,y)\leqslant D(x,z)+D(z,y) (pas évident!)

Donc il me reste à démontrer le troisième propriété, et dans ce cas l'exo donne quelques indications pour montrer cela.

"On posera pour , on montera que
a) f croissante, f' décroissante sur R+
b) Pour tous u,v positifs ou nuls, (Pour ça on étudie , v fixé)"

Pour le a) je l'ai montré sans problème, c'est le b) qui me bloque. Je n'arrive pas à voir comment F(u) fonctionne.
Et si on a prouvé a) et b), on a déjà ? Je n'ai pas vu la conséquence... J'ai envie de vos idées sur ça

Merci d'avance

Salut

f(u+v)<=f(u)+f(v) <=>f(u+v)-f(u)<=f(v). <=>F(u)<=f(v). A toi de comparer

[invitec1242683]

Pour la conséquence, elle est simple.d est une distance donc d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y).
Tu veux prouver que D(x,y)<=D(x,z)+D(z,y) .
Soit d(x,y)/(1+d(x,y)) <= d(x,z)/(1+d(x,z)) +d(z,y)/(1+d(z,y)). Comme d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y) et que f est croissante, D(x,y)<= (d(x,z)+d(z,y))/(1+[d(x,z)+d(z,y)])<=f(d(x,z))+f(d(z,y)). CQFD

[invite0fd5e1c6]

Merci beaucoup pour vos réponses Je l'ai résolu enfin!

[A voir en vidéo sur Futura]