Définition d'un nouvel opérateur

[invitefd4e7c09]

Bonjour,

Hier soir, il me vient l'idée de définir un nouvel opérateur mais je ne suis pas convaincu de son utilité car :
1/ Je ne parviens pas à trouver une relation entre cet opérateur et les opérateur déjà existant
2/ Je ne vois pas à quoi cela pourrait servir (toutes sciences confondues)
3/ Je ne vois pas comment le généraliser à R tout entier.

Définition :
********
Pour tout couple de nombres décimaux A et B, on dit que A *appelle* les décimales de B dans l'ordre de A et on note A B l'opération consistant à recopier les décimales de B dans l'ordre de A pour donner naissance à un troisième nombre décimale C.

// C'est mal défini mais je ne vois pas comment écrire ça proprement

Exemple :
*******
A = 0.583147
B = 0.123456

A B = 0.503140

Détail de l'opération sur cet exemple :
-------------------------------------
A appelle la 5e décimale de B qui est 5
A appelle la 8e décimale de B qui est 0
A appelle la 3e décimale de B qui est 3
A appelle la 1e décimale de B qui est 1
A appelle la 4e décimale de B qui est 4
A appelle la 7e décimale de B qui est 0

A noter aussi que la n_ième décimale ne peut être appelée qu'une seule et unique fois et qu'un nombre décimale D peut très bien s'appelé lui même : D D
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[invitec1242683]

Il me semble que c'est une simple permutation, non ?

[invite4492c379]

Hello Anthony,

un rapport avec http://forums.futura-sciences.com/ma...our-reels.html ?

un peu les mêmes questions me reviennent :

1. Que fait-on du 0 ? Ne serait-il pas plus simple de commencer l'indexation des décimales à 0 ?
2. Si on ne peut appeler la nième décimale qu'une fois, que fait-on lorsque qu'on tombe dessus une seconde fois ? On concatène pour appeler une décimale à une position n, avec n>9 ?

[invitefd4e7c09]

Oui ça ressemble un peu a de la permutation mais c est un peu plus complique cf l exemple ci dessus Le résultat n est ni une permutation de A ni une permutation de B

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Sinon, le plus simple plutôt que de parler des nombres réels de [0,1], est de parler de l'ensemble des suites à valeur dans {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Soient et deux suites de cette nature

La version naïve est alors

[invite76543456789]

Salut!
Quelques petites remarques.
Ton operateur (je le noterais simplement A.B) n'agit que sur les 10 premieres decimales de son argument, donc tu peux (en fait non, mais j'explique pourquoi plus loin) le definir sur tout R, je ne vois pas le probleme.

Le vrai souci c'est qu'en fait ton operateur n'est pas bien defini, car le developpement decimal d'un reel n'est pas unique. (1=0,9...) et c'est le cas pour tous les decimaux (par exemple 0,236=0,23599....) donc je dirait qu'il n'est bien defini uniquement si A est un reel non decimal, et si B est un reel non decimal, ou alors un decimal qui comporte plus de 10 decimales avant de se terminer par 0.

Apres a quoi cela sert, bah ca ce serait plutot a toi de nous le dire, non?

[invitefd4e7c09]

Salut Photon !

Tu as raison concernant le sujet des récréations qui sont un cas particulier de nombres qui s'appellent eux mêmes.
Oui on peux commencer l'indexation à zéro si on le souhaite
Oui dans le cas ou la nieme décimale a déjà été appelée, il faut appeler la n_n+1eme décimale.

[invitefd4e7c09]

L'opérateur ne s'applique que sur des nombres décimaux car effectivement on se heurte à tout un tas de problème dans le cadre des réels en particulier :
1/ l'histoire du 0.a99999999 = 0.a+1000000000000000 comme le souligne PacMan
2/ un nombre réel possédant une infinité de décimales engendre une infinité d'appels ce qui ne peut aboutir à la création d'un nombre (quoi que cela puisse vouloir dire , on comprend que ça va pas être possible par exemple d'effectuer l'opération

[invitefd4e7c09]

MissPacMan,

La notation "." de l'opérateur est déjà utilisée. De plus la flèche est un symbole assez parlant pour désigner quelquechose qui va vers une autre "l'appel" dans notre cas mais à la limite peu importe la façon dont on note l'opérateur.

Il me semble que vous ne comprenez pas le sens de l'opérateur tant il à été mal défini.
Je vais essayer de me reprendre à l'aide d'un second exemple :

[invite4492c379]

Disons que l'idée de la transformation est intéressante (au moins ludiquement parlant). Je trouve dommage en revanche de se limiter aux réels dont la notation décimale est finie.
Il sera nécessaire de limiter la transformation aux notations qui sont «normalisées» (i.e. les notations ne comportant aucune suite infinie de 9 ou de 0, cela permet d'avoir une représentation unique par réels).
J'aimais bien l'idée de ton autre fil, celle qui consistait à prendre la plus grande suite possible de chiffres pour former le plus petit nombre n tel que le chiffre d'index n de B n'est pas encore utilisé.
Il ne s'agit pas d'une permutation car tous les chiffres de B peuvent ne pas être utilisés, par exemple A=0,111111...=1/9 et B=0,121212...=12/99 A^>B=0,22222...=2/9.

[invitefd4e7c09]

Disons que l'idée de la transformation est intéressante (au moins ludiquement parlant). Je trouve dommage en revanche de se limiter aux réels dont la notation décimale est finie.

Oui mais cela engendre comme je disais une infinité d'appels.

Il sera nécessaire de limiter la transformation aux notations qui sont «normalisées» (i.e. les notations ne comportant aucune suite infinie de 9 ou de 0, cela permet d'avoir une représentation unique par réels).

Que veux tu dire par la ?

J'aimais bien l'idée de ton autre fil, celle qui consistait à prendre la plus grande suite possible de chiffres pour former le plus petit nombre n tel que le chiffre d'index n de B n'est pas encore utilisé.
Il ne s'agit pas d'une permutation car tous les chiffres de B peuvent ne pas être utilisés, par exemple A=0,111111...=1/9 et B=0,121212...=12/99 A^>B=0,22222...=2/9.

Euh non Photon

A^>B = 0.1111111111.......
B^>A = 0.1111111111.....

[invitefd4e7c09]

En fait ce n'est pas commutatif sauf dans certain cas comme dans ton exemple photon.

[invite4492c379]

Pour l'exemple je considèrais le cas où on ne se limite pas à un chiffre pour la redirection d'où
A=1/9=0,1111....
on prend successivement la décimale de rang 1, puis 11, puis 111, puis 1111 ....
B=12/99=0,121212... a aux rangs impairs le chiffre 2 donc A^>B=0,22222....


En y réfléchissant, y aurait-il un intérêt à prendre le 0 comme le chiffre des unités ? ou à carrément le passer ?

[invitefd4e7c09]

Pour l'exemple je considèrais le cas où on ne se limite pas à un chiffre pour la redirection d'où
A=1/9=0,1111....
on prend successivement la décimale de rang 1, puis 11, puis 111, puis 1111 ....
B=12/99=0,121212... a aux rangs impairs le chiffre 2 donc A^>B=0,22222....

Euh non B=12/99=0,121212... a aux rangs impairs le chiffre 1 donc A^>B=0,1111....

En y réfléchissant, y aurait-il un intérêt à prendre le 0 comme le chiffre des unités ? ou à carrément le passer ?

Pour ma part je ne m'en suis jamais soucié, je le passe.

[invitefd4e7c09]

En revanche, 0.111111....^> 0.21212121... = 0.222222....

[invite4492c379]

Euh non B=12/99=0,121212... a aux rangs impairs le chiffre 1 donc A^>B=0,1111....

Pour ma part je ne m'en suis jamais soucié, je le passe.

Je prenais la première décimale a pour rang 0, sinon prend B=21/99.

[invitefd4e7c09]

Je prenais la première décimale a pour rang 0, sinon prend B=21/99.

Ah oui d'accord ok autant pour moi dans ce cas

[invite4492c379]

Ce qui est rigolo est qu'un nombre rationnel a priori pas compliqué comme 1/9 va «chercher» rapidement loin les décimales du nombre cherché, alors qu'un nombre irrationnel comme le nombre de Campernowne y va tout doucement.

[invitefd4e7c09]

Ce qui est rigolo est qu'un nombre rationnel a priori pas compliqué comme 1/9 va «chercher» rapidement loin les décimales du nombre cherché, alors qu'un nombre irrationnel comme le nombre de Campernowne y va tout doucement.

La par contre tu touches du bout des doigts le vrai sujet.
L'opérateur à été d’ailleurs défini en partant de la (du nombre de champernowne "c" qui est invariant lorsqu'il s'appelle lui même c^>c=c mais aussi c^>x=x l'équivalent de l'identité si l'on se place d'un point de vue matriciel)

[invite76543456789]

L'opérateur ne s'applique que sur des nombres décimaux car effectivement on se heurte à tout un tas de problème dans le cadre des réels en particulier :
1/ l'histoire du 0.a99999999 = 0.a+1000000000000000 comme le souligne PacMan
2/ un nombre réel possédant une infinité de décimales engendre une infinité d'appels ce qui ne peut aboutir à la création d'un nombre (quoi que cela puisse vouloir dire , on comprend que ça va pas être possible par exemple d'effectuer l'opération

1/ Vous ne semblez pas realiser que le probleme 1 se pose sur tous les nombres decimaux, il n'y a que les nombre non decimaux pour lequel votre operateur sera bien defini.
Par exemple au message suivant celui que je cite, vous dites
0,597412->0,141592=0,900514
Mais 0,141592=0,1415919999...
Et donc 0,597412->0,141591999..=0,9995214, qui n'est pas egal à 0,597412->0,141592.

2/ Je ne vois pas le probleme de définir pi.>pi vous connaissez la nième decimale du resulat puisqu'il vous suiffit de regarder la n-eme decimale de pi ce sera 012345678 ou 9, et donc cela vous donnera quelle decimale parmi 31415926 a inserer en n-ieme position.

Mais je reitere ma remarque du 1/ votre operateur n'est pas bien defini sur les decimaux (a moins que qqch m'echappe).

[invite4492c379]

Hello,

attention, on ne part pas d'une notation mais d'un réel. À chaque réel on fait correspondre une unique notation (celle qui ne contient ni une infinité de 9 ni une infinité de 0). On utilise ensuite les notations «normalisées» de deux réels pour en produire la notation décimale d'un troisième (qui lui aussi sera unique). Cela évite les problèmes du genre 0,9...=1.
Une question serait peut-on produire une notation qui comporterait un nombre infini de 9 consécutifs ? Mais même si cela se produisait cela ne serait pas un problème car cette notation correspond à un unique réel.

[invite76543456789]

C'est bien le probleme! C'est que l'ecriture decimal n'est pas unique!
En admettant que vous vous restreignez au developpement propres, vous aurez toujours des cas où le resultat sera en developpement decimal impropre.

Mais bon, je ne vois toujours pas bien l'interet d'un tel operateur, pourquoi l'introduire.

[invite4492c379]

Par jeu ?

OK, imaginons que la notation obtenue (qui n'est pas le résultat, car le résultat est un nombre) soit impropre. Bien qu'impropre elle correspond à un unique réel qui lui sera le résultat.

Dans la notation d'Anthony : A^>B=C A, B et C sont des réels.
De A on tire a, l'unique notation en base 10 (on peut généraliser à d'autres bases) de ce nombre tel qu'on ait aucune suite infinie de chiffres 0 consécutifs (idem pour le chiffre 9). On fait de même pour B, on obtient b.
De a et b, on construit c qui est une notation décimale (propre ou impropre, peu importe) car quelle que soit la notation c elle correspond à un unique réel C ; C est unique, il y a toujours convergence vers un réel.

[invite76543456789]

De A on tire a, l'unique notation en base 10 (on peut généraliser à d'autres bases) de ce nombre tel qu'on ait aucune suite infinie de chiffres 0 consécutifs (idem pour le chiffre 9).

Au passage, ceci n'est pas possible, vous ne pouvez pas a la fois eliminer les developpement comportant une infinité "finale" de 0 et un infinité de 9.

Mais bon je suis bien d'accord que vous pouviez choisir uniquement le developpement propre (apres la reponse pourra eventuellement donnée sous un developpement impropre, mais vous avez raison ca vous donnera un réel bien défini).

[invite4492c379]

Au passage, ceci n'est pas possible, vous ne pouvez pas a la fois eliminer les developpement comportant une infinité "finale" de 0 et un infinité de 9.

Oui, je voulais éviter plusieurs notations se terminant par des 0, une formulation plus exacte serait une notation finie ne se terminant pas par un ou plusieurs 0, ou une notation infinie ne contenant (resp.) ni une infinité de 0 (resp. 9) consécutifs.

[invitefd4e7c09]

Miss pacman l opérateur défini ici n est pas défini avec une totale rigueur je n ai pas la prétention d en faire une thèse ou que sais je encore on reste ici dans le domaine du jeu comme le disait photon Pour le reste je n ai pas vraiment le niveau de suivre vos objections

[invitefd4e7c09]

Re,

Ce matin, j'ai essayé de déterminer quelques propriétés de l'opérateur en question sur le tableau blanc de la cuisine. Voici ce que j'en tire à la hâte en partant de 3 réels quelconques (ou presque) et du nombre de champernowne:

[invitefd4e7c09]

Re,

Quelqu'un peut il m'expliquer comment montrer proprement que :
a et b étant deux réels dans l’intervalle ]0;1[ présentant une liste infinie de décimales et x l'inconnue, admet une infinité de solutions et que n'admet pas de solutions.

Cordialement
Anthony