inversion polynomiale

[inviteb7558fdc]

Bonjour,

Je m'intéresse à un polynôme du second degré avec et non-nuls.
Je voudrais trouver (utopiquement, je sais), un autre polynôme du second degré t.q. y(x)p(x)=1 pour tous les x.
Je procède comme ceci :

On trouve évidemment qu'il n'y a pas de couples de valeur (a,b) telles que M(x) soit nul pour tout x. On trouve n"anmoins que , et nous gardons cette valeur.
Néanmoins, il y a certaines valeurs de a et b, pour et donnés, qui permettent à l'équation précédente d'admettre des racines en x, càd de s'annuler, si le est positif. Donc y(x) possède un inverse pour certaines valeurs de x, qui dépendent de a et b.
Je recherche donc ces valeurs :

où j'ai utilisé la valeur de a trouvée plus haut pour obtenir une équaotin en b uniquement.
Ce delta fournit une ou deux racines réelles suivant qu'il est nul ou positif.
Voyons donc les valeurs de b pour lesquelles ce delta est positif :

On en conclus qu'une seule valeur de b permet d'annuler le delta du haut :

Voilà où nous en sommes :
nous avons trouvé
ce p(x) est l'inverse du polynome y(x) pour les valeurs de x suivantes :


Ma question est la suivante : que représente cette racine? mathématiquement?
Par exemple, pour a=b=1, y(x) a une racine en x=-1 mais p(x)=1-x a une racine en x=1. Mais ces deux polynomes sont égaux lorsque x=0, ce qui est trivial.
De plus, lorsqu'on étend le raisonement ci-dessus en "forçant" p(x) à être un polynome de degré n quelconque, via , qu'on trouves les coefficients et qu'on plotte le résultat, on trouve une fonction assez spéciale, (j'ai fait des plots avec mathematica, je peux les poster si besoin (ou le code)).
autre sous-question : j'ai imposé que 1/(a+bx) soit exprimable comme un polynome d'ordre fini, mais je n'arrive pas à trouver de conditions sur cet ordre...Comment obtenir une relation qui me dise que cet ordre doit être infini?
Je vous remercie énormément pour vos réponses
Bien à vous.
-----

[inviteb7558fdc]

Pour information, j'ai trouvé les coefficients pour le polynome d'ordre fini comme suit : (pour A=-a, 1=b)




on définit ici
pour tout x
==>


le polynome est ainsi completement déterminé, mais comment imposer son ordre N??????

[inviteb7558fdc]

si chacune des 170 personnes qui ont lu ce fil répondaient en disant pourquoi elles ne donnaient aucune réponse, quelle serait la moyenne de ces réponses? (j'estime "je n'ai pas pris la peine de lire vraiment" lol).
Ma dernière question me turlupine pourtant réellement...
Merci pour tout commentaire (concernant la question que je pose uniquement), fusse-t-il une aide ou non!
Bien à vous

[inviteaf1870ed]

Peut être aussi que ce que tu présentes n'est pas clair pour nous (je pèse mes mots) : un polynôme n'admet généralement pas d'inverse. Par contre tu peux facilement (?) développer son inverse en série entière.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb7558fdc]

bonjour.

un polynôme n'admet généralement pas d'inverse. Par contre tu peux facilement (?) développer son inverse en série entière.

je veux exprimer la fonction sur son domaine comme un polynôme d'ordre fini N (à déterminer): , où les sont bien sûr aussi à déterminer.
Pouvez-vous me dire ce qui ne va pas dans la formulation de ce problème? Ou se trouve l'erreur s'il en a une?
Quel élément nous permet de dire que ce problème est mal posé?
Merci pour vos réponses.

[inviteaf1870ed]

Ce n'est pas un polynôme. Donc arrêter la décomposition au rang N crée une erreur. C'est le principe des développements limités, me semble t il. Plus N sera grand plus tu t'approcheras de y.
Ou alors je ne comprends pas ce que tu cherches, ce qui est toujours possible.

[inviteb7558fdc]

Non, c'est cela.
Mais que voulez-vous dire par "crée une erreur"? à quel moment cette erreur se crée-t-elle? qu'est-ce qui vous permet d'affirmer que 1/(x-A) n'est pas un polynome sur son domaine? et puis, si "l'approximation" polynomiale est définie sur un plus grand domaine que la fonction initiale, ça ne pose pas de soucis : il suffit de restreindre "à la main" son domaine par après.
Merci pour vos éclaircissements,
bien à vous.

[inviteaf1870ed]

Peut être que ce lien te donnera une réponse : http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9...nt_limit%C3%A9

[inviteb7558fdc]

Bonjour.
La prise en compte de votre article et de ceux connexes ne m'a pas donné de réponse satisfaisante.
Selon Wikipedia :

En physique et en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction f au voisinage d'un point, est une approximation polynomiale de cette fonction en ce point, c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme :

Deux choses restent floues dans cette définition :
- quid si l'ont veut développer la fonction sur tout son domaine, pas uniquement sur un point? (ex : splines)
- qu'est-ce qui permet d'affirmer a priori que le polynôme trouvé sera une approximation de la fonction initiale? ou : quel théorème dit-il que la représentation analytique d'une fonction est unique?

Merci pour vos réponses.
bien à vous.

[inviteaf1870ed]

Les splines cela reste des approximations...
Quant à la démonstration, que penses tu de ceci : supposons que sur tout le domaine considéré 1/x-A = P(x) [1] où P est un polynôme de degré inconnu, mais fini. Appelons le N.
Il suffit de dériver l'égalité [1] N+1 fois pour aboutir à une égalité impossible.

[inviteb7558fdc]

Bonjour.
Merci pour votre réponse.
Avouez que la réponse n'est pas triviale! et je n'en serai pas convaincu tant que je ne l'aurai pas fait :-p
Mais ce faisant, subsiste un gros problème : quand est-ce que je saurai que je suis au N+1ème terme? Vous me direz : quand tu aboutiras à une égalité impossible. Mais si je n'y aboutis jamais, (puisque N n'a pas encore été déterminé), je ne trouverai jamais d'égalité qui est impossible.
Est-ce donc possible de réellement démontrer cette conjecture, comme vous le dites?
Merci.

[inviteea028771]

Une autre façon de se convaincre de pourquoi 1/(X-1) n'est pas un polynôme :

Supposons qu'il existe un polynôme P de degré n tel que P(X) = 1/(X-1)

Alors (X-1)P(X) = 1

Donc

C'est à dire

On a alors le système suivant :



Et on voit que ce système n'a pas de solution (il faudrait que an = a0 )

Donc pour n'importe quelle valeur de n, 1/(X-1) n'est pas un polynôme de degré n

Donc 1/(X-1) n'est pas un polynôme

[albanxiii]

Bonjour,

Vous-vous demandez pourquoi personne ne répond ?
En ce qui me concerne j'ai arrêté de lire à partir de :

Je m'intéresse à un polynôme du second degré avec et non-nuls.

Je n'ai pas de temps à perdre.

Bonne soirée.

[inviteb7558fdc]

@albanxiii : LOL je vous comprends haha
mais si vous aviez lu plus bas, ce polynôme n'est pas si anodin : c'est le polynôme inverse de a+bx en x=0.

[inviteb7558fdc]

@Tryss : j'ai fait votre développement dans le 2eme post de ce fil (le vôtre en est un cas particulier quand A=1)
Selon moi, votre passage de la 1ère ligne à la seconde est faux:
il faut remplacer le 1er terme de votre 2eme équation ( ) par .
de plus, votre somme reste jusqu'à n alors que vous extrayez le nème terme...??
Pouvez-vous m'expliquer?

[inviteb7558fdc]

Et puis, votre système d'équation peut se résoudre de manière récursive, comme je l'ai fait, où on voit que les coefficients suivent une progression géométrique. Il suffit d'imposer une valeur initiale, mais qui n'a pas de valeur "mathématique" puisqu'on n'impose aucun des coefficients du développement, on en rajoute un () temporairement pour le calcul, de la même manière qu'on ajoute un i lorsqu'on veut résoudre , et qu'on ne garde que la partie entière de la solution comme solutoin physique (quoique la partie imaginaire représente la phase et pourrait être physique aussi, mais soit)
De plus, dans ma solution, lorsqu'on fait tendre N vers l'infini, on obtient le bon développement de Taylor...
Bien à vous

[inviteb7558fdc]

bonjour à tous
Est-ce que quelques-unes des 500 personnes lisant ce fil en schmet pourraient-elles dire où se trouve l'erreur (s'il y en a une) dans le développement du 2ème post de ce fil?
huhuhu, j'ai l'air plus vache que je ne le suis vraiment

[inviteea028771]

C'est simple, et on vous le répète depuis le début : 1/(1-x) (ou autre variante) n'est pas un polynôme.

Alors oui, on peut l'approcher d'aussi près que l'on veut par des polynômes, mais ça n'est pas égal à un polynôme.

A part ça, on a bien , qui est un résultat ultra classique sur les séries entières.

Et on voit bien que si on coupe à un ordre fini, il va manquer quelque chose

[inviteb7558fdc]

Bonjour.
Ecoutez, voilà les faits :
-j'ai fait un dévelopmment général dans le 2eme post de ce fil.
-Vous en avez fait un cas particulier dans votre post.

-je vous ai montré où vous aviez fait un erreur, vous ne m'avez pas corrigé.
-je vous ai demandé où j'avais fait une erreur, vous ne m'avez pas répondu.

J'aimerais, avant de continuer la conversation, que ces choses soient réglées car je reste dans le flou. Ce n'est pas parce que vous me dites "n'est pas" que je vais y croire les yeux fermés (après tout, je ne sais pas qui vous êtes?)
Je ne remets pas en question ce que vous dites (enfin si mais...) mais je voudrais juste en avoir les sources, ou les théorèmes qui le démontrent, pas uniquement des mots.
Désolé, j'espère que vous me comprendrez, mettez-vous à ma place, quand vous appreniez
Merci pour votre aide.

[invite76543456789]

Salut!
Sais tu que deg(fg)=deg(f)+deg(g) pour des polynomes a coeff reels? Tu ne peux donc trouver de g tel que (aT+b)g=1 pour des raisons de degré.

Tryss t'en donne une autre démo qui est correcte.

Et enfin aX+b est un polynome de degré 1, pas 2.

[inviteb7558fdc]

|MissPacMan:
Tu comprends bien que pour que cette condition de degré soit satisfaite, il faut que tous les coefficients du polynome soient identiquement nuls.
C'est le calcul que j'ai fait au 2eme post du fil, peux-tu me dire où j'ai fait une erreur s'il te plait?
Par contre, j'ai pointé une erreur dans le calcul de Tryss et je n'ai toujours pas d'explication....
Comprenez qu'en restant muet sur l'exactitude de mon développement, et qu'en disant simplement que celui de Tryss "est correct" sans même faire allusion à l'erreur que j'ai mise en évidence est on ne peut plus frustrant.
Mais je reste calme, et attends votre réponse avec impatience
Bien à vous.
merci

ah oui, lol, je n'avais pas remarqué depuis le début que j'ai écrit "2eme degré" pour un polynome du 1er degré, car 'javais en tête le nombre de coefficients nécéssaires pour le décrire.
Toutes mes excuses donc pour ceux qui ont profité d'un quiproquo de définition pour éviter le problème

[invite76543456789]

Dans votre deuxieme post il ya deja une erreur lors du passage de la ligne 3 a la ligne 4, le terme en x^{n+1} disparait.

L'erreur que vous avez cru voir dans le message 12 de Tryss est imaginaire, il n'y a aucune erreur dans son calcul.

Ma démonstration est elle aussi parfaitement correcte, si le polynome g est nul, alors on a pas l'egalité, s'il n'est pas nul alors deg(g(aT+b))>0 (pour a non nul)

Il y a 10 000 facons plus ou moins tordues de démontrer que 1/(aT+b) n'est pas un polynome (l'unicité du DSE, le comportement en l'infini, le fait qu'il nexiste aucun t complexe tel que 1/(at+b)=0 alors que tout polynome de degré >0 est sujectif de C dans C... )

[inviteb7558fdc]

Bonjour

Dans votre deuxieme post il ya deja une erreur lors du passage de la ligne 3 a la ligne 4, le terme en x^{n+1} disparait.

Il ne disparait pas, il est absorbé dans une redéfinition des indices. D'ailleurs, vous faites bien de le remarquer, mais la somme finale va jusque N+1 et non N, mais cela ne change rien au problème : si N n'est pas déterminé, il en est autant pour N+1....

L'erreur que vous avez cru voir dans le message 12 de Tryss est imaginaire, il n'y a aucune erreur dans son calcul.

Alors là, j'avoue que vous me convainquez : pas d'équivoque possible, votre démontration est on ne peut plus claire. Lui aussi fait disparaitre un terme, comme je l'ai dit et re-dit, mais la façon avec laquelle vous me montrez que ce n'est qu'imaginaire évapore tous mes doutes.
Merci pour votre réponse

Ma démonstration est elle aussi parfaitement correcte, si le polynome g est nul, alors on a pas l'egalité, s'il n'est pas nul alors deg(g(aT+b))>0 (pour a non nul)

on ne parle pas d'annuler le polynome g, on parle d'annuler le polynome p(x) = (fg -1) d'ailleurs, si on l'annule (pour tout x), il a bien un degré zero, comme il se doit....

[invite76543456789]

Non aucun terme ne disparait dans le calcul de Tryss, que voulez vous que je vous dise mis a part detailler son calcul (dans le votre il disparait bien ou alors il y a un probleme d'indice, cela revient au meme).
(AT+b).a_nT^N+...+a_0=Aa_nT^{n +1}+...+Aa_0T+ba_nT^n+...+ba_0 =1
Il n'y a qu'un terme de degré n+1 c'est Aa_nT^{n+1}, ceci entraine a_n=0, c'est une contradiction.

Je ne parle pas d'annuler le polynome g dans ma preuve, mais bien d'inverser aT+b, le polynome nul n'a pas un degré nul, mais un degré valant - l'infini, mais peu importe.
Le degré de (aT+b)g-1 est egal a deg(g)+1 il ne saurait etre nul, encore moins egal a moins l'infini.

[Médiat]

open_minded (?) : Votre question de départ a reçu sa réponse (plusieurs fois), mais vous persistez à les refuser avec un ton inacceptable envers les gens qui vous aident, je laisse ce fil temporairement ouvert, mais si vous continuez sur ce ton il sera fermé définitivement.

Médiat, pour la modération.

[inviteaf1870ed]

A vrai dire ce que je ne comprends pas c'est comment Open Minded peut poser une question sur une équation différentielle liée à des notions de géométrie différentielle (Tenseur de Ricci ...) et avoir cette discussion "trollienne"

[inviteb7558fdc]

Bonjour
En effet, discussion un peu "trollienne", je le reconnais.
Et c'est justement en tentant de résoudre cette EDO non-lineaire pour laquelle j'ai ouvert une autre sujet, que, pour me changer les idées, j'en suis venu à vouloir "inverser" un polynome du 1er degré, de la même manière qu'on place les racines au numérateur, par facilité de calcul.
Puisque mon développement m'a amené à pouvoir représenter ce polynôme inverse comme une somme finie dont j'ai calculé les termes, j'ai commencé ce nouveau fil.
Je conçois bien que la question semble absurde. mais je ne suis simplement pas convaincu pour deux raisons :
-mon développement n'a pas été démontré faux (mis à part que la somme va jusqu'à N+1 et non N dans la dernière ligne, mais ça ne change rien au problème)
-le développement qui me contredit ne m'a pas été démontré vrai de manière convaincante. (j'ai aussi fait un changement d'indice dans le mien...)

Pourquoi exclure la possibilité qu'un polynome possède une infinité d'inverse, 1 pour chaque point de son domaine? et même "des" pour des points qui ne sont pas sur son domaine?
Comme je l'ai déjà souvent remarqué, et comme j'ai déjà souvent remarqué que d'autres le remarquent aussi, ce forum n'est pas fait pour ce genre de discussions. C'est dommage de rester emprisonné dans des paradigmes sans pouvoir y sortir.

Voilà ma version :
Les gens se ruent sur les fils qui leur parlent, ils savent aussi, en secret, que ceux qui ne les intéressent pas sont ceux qu'ils ne comprennent pas. Ils écrivent donc leur réponse à toute vitesse, car le temps tourne, et qu'il sont pressés d'aller poster des réponses sur les autres fils où ils n'ont pas encore étalé leur connaissance comme du "par coeur".
Quand on pose une question ici, c'est chouette : on a directement la réponse que donnerait un robot dans lequel on a encodé l'encyclopédie. C'est clair, c'est net, c'est épuré de tout esprit critique.

J'avais déjà lancé ce type de débat ("devoir moral ou je m'en foutisme") dans la section "débats scientifiques" de ce forum, sous un autre pseudonyme, mais celui-ci a été tout simplement effacé par les modérateurs.

Je ne comprends pas qu'on ne puisse pas prendre plaisir à remettre les choses qu'on nous a jadis apprises, qu'on a assimilées alors, mais qu'on remets en question aujourd'hui, à la lumière de nouvelles connaissance alors inconnues.
Qu'il y a-t-il de mal à cela? Si ce n'est pas ici, sur un forum sur lequel sont censés circuler des gens curieux, amis des problèmes, des mystères de la nature, de la remise en question, de la recherche...où donc aller pour partager ces questions?
Je comprends qu'on puisse avoir toutes sortes d'a-priori lorsqu'on parle à quelqu'un par écran interposé, mais si le fait que vous discutiez sur un forum modifie la façon dont vous pesez les interrogations de vos interlocuteurs, par rapport à si celui-ci était en face de vous, je trouve que celui-ci perd de son sens, et se transforme en "défouloir pour après le boulot" comme facebook l'est pour "après l'école' pour les plus jeunes.
Enfin voilà..ce n'est que mon avis.
J'espère tellement mieux pour ce forum...
Surtout à la vitesse où se propage le bouche-à-oreille...

Dernier point : je déteste faire du blabla, psychologie, etc, sur un forum où je pose une question de math ou de physique bien concrète, et je suis à chaque fois malheureusement amené à le faire, afin de faire avancer la vraie discussion (les CALCULS, mot qui me semble étranger chez vous).
Et enfin, que tout le monde se rassure, ce ne sont que des mots : je vous le promets, je suis quelqu'un de sympa dans la vie réelle J'aime aider mon prochain, je veux le bonheur de tout le monde si je dis tout cela, c'est parce que je suis en colère, et quand on est en colère, c'est que la chose nous prend à coeur, donc qu'on lui veut du bien, au fond (je parle du forum).
Mes questions initiales restent donc ouvertes
Et de grâce, répondez-moi par MESSAGE PRIVE si ça ne concerne pas le topic du fil
Bien à vous à bientôt!

[inviteb7558fdc]

en fait logiquement, tout ça devrait nous mener aux propagateurs de Feynmann, fonctions de Green, réponse impulsionnelle.
C'est juste un point de départ différent.
Ne sommes-nous pas d'accord? Je vais laisser ça en suspend, et me ré-attaquer à cette nouvelle solution inédite des équations d'Einstein!

[invite76543456789]

Je ne sais pas en quel langue il faut vous le dire. Il y a une erreur dans votre calcul et qd vous l'ecrivez proprement comme je l'ai fait lors de mon precedent message, vous vous rendez compte que a_n est necessairement nul ce qui mene a une absurdite.

Qt a admettre qu'un polynome admette des inverses en tt point c'est changer la terminologie. Pourquoi ne pas appeler une serie entiere un polynome? Ou meme un reel pourquoi pas? C'est vrai apres tout pourquoi interdit t on aux reels d'etre des polynomes, un peu d'ouverture d'esprit.

Il ne s'agit pas ici d'etaler sa "connaissance" surtout sur des questions tellement basique que n'importe quel matheux maitrise sur le bout des doigts. Il s'agit simplement d'avoir un minimum de competence en maths, ce dont vous ne faites pas preuve au vu de ce fil.

[inviteb7558fdc]

Je comprends qu'on puisse avoir toutes sortes d'a-priori lorsqu'on parle à quelqu'un par écran interposé

Il s'agit simplement d'avoir un minimum de competence en maths, ce dont vous ne faites pas preuve au vu de ce fil.

Les mathématiques sont un océan infini où fourmillent les ingrédients. Ce n'est pas parce qu'on ne sait pas faire boullir de l'eau qu'on n'est pas capable de préparer de savoureuses pâtisseries.
Vous êtes peut-être incollable sur l'algèbre de base, mais savez-vous dériver de manière covariante un lagrangien de champ électromagnétique sur une variété riemannienne?
"Nos rêves sont plus grands que le ciel".