Bonjour,
Je suis étudiant en maîtrise de mathématiques et je me pose des questions sur les fondements des mathématiques et notamment sur la construction d’ensembles dans le cadre de la théorie des ensembles classiques. Dans un souci de rigueur je me suis retrouvé confronté à quelques difficultés et je me permets de vous envoyer ce texte afin que vous puissiez me donner votre avis et me conseiller sur ce sujet :
Pour cela définissons les ensembles usuels de la façon suivante :
N l’ensemble des entiers naturels est définit comme l’ensemble des successeurs de l’ensemble vide 0 (dont l’existence est assurée par l’axiome de l’infini,où le successeur d’un ensemble x est le nouvel ensemble noté x+ défini par x+ := xU{x}).Ainsi N={0,1,2,…} où 1 := 0+ ={0},2 := 1+ ={0,{0}} ,etc…On munit N de deux opérations classiques :l’addition +N et la multiplication *N. (N,muni de ces deux opérations, est un demi groupe).
Z l’ensemble des entiers relatifs est définit comme quotient de l’ensemble produit N*N par la relation d’équivalence RN définie sur N*N par : pour a,b,c,d éléments de N, (a,b)RN(c,d) si et seulement si a +N d = c +N b. On munit Z de deux opérations classiques : l’addition +Z et la multiplication *Z et Z, muni de ces deux opérations, est un anneau. De plus il existe une injection naturelle iN de N dans Z.
Q l’ensemble des entiers rationnels est définit comme quotient de l’ensemble produit Z*Z’ (où Z’ est l’ensemble Z privé de son élément neutre pour +Z) par la relation d’équivalence RZ définie sur Z*Z’ par : pour p,r éléments de Z et q,s éléments de Z’,(p,q)RZ(r,s) si et seulement si p *Z s = r *Z q. On munit Q de deux opérations classiques : l’addition +Q et la multiplication *Q et Q, muni de ces deux opérations, est un corps. De plus il existe une injection naturelle iZ de Z dans Q.
R l’ensemble des nombres réels est définit comme quotient de l’anneau des suites de Cauchy de Q par l’idéal de ce dernier formé des suites de Q convergeant vers 0Q (l’élément neutre de Q pour +Q). On munit R de deux opérations classiques : l’addition +R et la multiplication *R et R, muni de ces deux opérations, est un corps (complet).
Pour un corps K et P un polynôme irréductible sur K, on dispose d’une injection de K dans le quotient K[X]/(P) de K[X] (l’anneau des polynômes à coefficients dans K) par (P) (l’idéal de K[X] engendré par le polynôme P) , etc…
On obtient par ce genre de constructions des injections d’ensembles dans d’autres ensembles et on dit souvent que l’on identifie l’ensemble de départ avec son image par l’injection (par exemple N et iN(N)) mais j’aimerai montrer qu’on peut en fait construire de nouveaux ensembles à partir de ceux-ci tels que l’on n’ait plus des injections mais des inclusions (ce qui serait plus pratique et en même temps rigoureux).
Je m’explique sur un exemple : considérons le nouvel ensemble Zbis défini à partir de Z de la façon suivante : Zbis:= (Z\iN(N)) U N (on remplace effectivement iN(N) par N dans Z). On peut alors définir de nouvelles opérations sur Zbis à condition de montrer que l’union (Z\iN(N)) U N est disjointe pour ne pas avoir des cas qui se recoupent. Mais dans ce cas il n’y a pas de problèmes car on peut voir facilement que les ensembles Z et N sont disjoints : sinon,il existerait un élément n appartenant à la fois à N et à Z ,on pourrait écrire n comme la classe d’un certain élément (a,b) de N*N puisque n appartient à Z,mais on dispose alors d’une injection de l’ensemble N dans l’ensemble n en associant à c élément de N l’élément (a +N c,b +N c) de classe de (a,b)=n . Ceci est contradictoire avec le fait que n est fini (n est égal en tant qu’élément de N à l’ensemble de ces prédécesseurs : n={0,1,…,n-}).Donc N et Z sont bien disjoints et par conséquent l’union (Z\iN(N)) U N l’est aussi. On ne travaille alors plus dans Z mais dans Zbis ce qui est plus commode car on a une inclusion de N dans Zbis.
Mais pour les ensembles suivants cette astuce ne fonctionne plus et ma question plus générale est alors la suivante : en suivant les notations de ce texte, que sont les ensembles suivants ? Z et Q, Q et R, K et K[X]/(P) ? (On peut toujours se poser la question de connaître l’intersection de deux ensembles quelconques, même si ces deux ensembles n’ont à priori rien en commun, et justement j’aimerai avoir une preuve que Z et Q sont disjoints, Q et R sont disjoints, K et K[X]/(P) sont disjoints,ceci permettrait de définir de nouveaux ensembles avec une inclusion de l’un vers l’autre suivant la méthode précédente).Il faut visiblement examiner cas par cas.
L’exemple simple suivant montre qu’on peut avoir un ensemble E, une relation d’équivalence R sur E et un élément appartenant à la fois à l’ensemble E et à l’ensemble quotient E/R : prenons par exemple E={0,{0}} ; notant x :=0 et y :={0} , on définit la relation d’équivalence R sur E par : pour u,v éléments de E, u R v si et seulement si (u=x et v=x) ou (u=y et v=y). On a alors y appartient à E et y (=classe de x) appartient à E.
Merci d’avoir lu ce texte, je serais vraiment content d’avoir une réponse.
En attendant je vous souhaite une bonne journée.
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