Polynomes

[invite77afed8f]

Bonsoir à toutes et à tous!

J'ai un DM de Maths à faire, et je voudrai bien que vous me donniez vos avis sur ce que j'obtiens..

C'est la première question, du coup il vaudrait mieux qu'elle soit juste ^^.

Soit n un entier naturel non nul. On pose A = (X+1)^(2n) - 1.

Justifiez que A peut s'écrire X*B, B un polynome, dont on précisera degré/coefficient dominant/terme constant.

J'ai utilisé les racines 2n-ième.

P(z) = 0 <=> (z+1)^(2n) - 1 = 0.

z+1 appartient à {e^(i2kPi/2n), k allant de 0 à 2n-1}.

Donc z appartient à {e^(i2kPi/2n) -1, k allant de 0 à 2n-1}.

Alors A = le produit, pour k allant de 0 à 2n-1, des (X-(e^(i2kPi/2n) -1)).
Du coup, j'ai sorti mon X :

A = X * le produit, pour k allant de 1 à 2n-1, des (X-(e^(i2kPi/2n) -1)).

Je trouve degré de B = 2n-1.
Et un coefficient dominant de 1... Je ne suis pas très sure de moi.

L'autre souci, c'est qu'en question 2, on me demande de déterminer les racines de A, sous forme exponentielle.

Merci de vos réponses!!
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[invite20890e0d]

Bonsoir développe A avec le binôme de Newton les un vont se simplifier et tu pourras mettre un X en facteur de la somme des termes restants

[invite77afed8f]

Du coup j'obtiens :

A= somme allant de 0 à 2n, des k parmi 2n * X^(k) - 1

C'est mon moins 1 qui m'ennuie =/

[invite20890e0d]

Le terme pour k=0 vaut 1 donc pas de problème

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite20890e0d]

Tu es d'accord?

[invite77afed8f]

Oui!
AHHHHHHHHHHHHH OUI! ça y est, j'ai compris x)

Mes 1 sont partis, du coup j'ai plus que des X élevés à la puissance k!
Merci beaucoup!!

[invite77afed8f]

Donc j'obtiens A = X * somme de k allant de 2 à 2n, des k parmi 2n, * X^k.


Coeff dominant = 1 (j'ai pris celui où k=2n)
Et le degré de B = 2n.

C'est bien ça?

[invite20890e0d]

Coeff et degré je suis d accord mais la somme commence à 1 et pas a 2

[invite77afed8f]

Oui, effectivement.

Mais la question était A = X*B. Avec Newton j'ai pas de X en facteur là...

[invite20890e0d]

En fait j ai mal lu si tu factorises comme tu le fais tu as X*somme de 1 a 2n de k parmis 2n *X^k-1 et si tu fais un changement de variable ce que tu sembles avoir fais tu as X*somme de 2 a 2n+1 de k-1 parmis 2n *X^k mais je ne crois pas que ce soit interressant de changer de variable

[invite20890e0d]

Et ton polynome B sera donc la somme des...

[invite77afed8f]

B=somme de 1 a 2n de k parmis 2n *X^(k-1) !