Polynômes d'anneau

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, prenons .

Considérons alors l'anneau , et l'idéal de définit par .

Si est premier alors est un corps alors on a trivialement (idéal engendré par...), mais à priori si n'est pas premier, ne serait pas principal.

J'arrive à prouver que . J'aimerai généraliser le résultat comme s'en suit mais je ne sais pas si il est vrai, et aucunement comment le montrer le cas échéant...

Soit un diviseur premier de . On définit alors l'unique entier tel que . On définit alors les polynômes . Le petit théorème de Fermat nous donne alors que . On note l'ensemble des polynômes unitaires de de degré minimal. Je pense que serait alors engendré par les polynômes et un des éléments de . Je ne sais pas si peut contenir un polynôme de degré inférieur à , mon ordinateur n'arrive pas à calculer assez rapidement à partir de .

Donc si quelqu'un a une idée à me donner... un théorème pouvant m'être utile...

RoBeRTo BeNDeR
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[Seirios]

Bonjour,

Il peut être intéressant d'utiliser le morphisme d'anneaux surjectif . Cela permet d'utiliser la division euclidienne dans , et de se ramener aux polynômes de de degré inférieur à n-1 en considérant où .

Cela ne permet pas de répondre à la question, mais tu pourras tester ton intuition sur plusieurs valeurs de n. En particulier, je trouve pour ma part que .

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, oui je me ramenai ainsi à l'étude d'uniquement les polynômes de plus petit degré que les "unitaires de degré minimal, en "plongeant" la division euclidienne de dans , justement je prend les polynômes unitaire pour avoir un coefficient dominant inversible.

Pour la suite et on a donc donc on trouve bien le même résultat

Le problème étant maintenant pour que mon ordinateur n'arrive pas à me calculer un polynôme unitaire de degré minimal, il ne trouve même pas X(X-1)(X-2)(X-3)(X-4)(X-5)...

[RoBeRTo-BeNDeR]

Merci pour ta contribution

[A voir en vidéo sur Futura]

[RoBeRTo-BeNDeR]

Alors pour n=6, je trouve effectivement un polynôme unitaire de degré plus petit que 6 qui est (allez savoir pourquoi maple ne me le trouvais pas...) donc quitte à faire une division euclidienne est engendré par les polynômes de degré inférieur de et , et il n'y a qu'un seul polynôme de degré inférieur à 3 qui est qui est avec mes précédentes notations .
Donc , à l'attaque de n=8...

[Seirios]

Pour n=8, je trouve .

Sinon, je pense que pour tout n, où P et Q sont deux polynômes de degré minimal avec coefficients dominants premiers entre eux (on doit pouvoir prendre l'un unitaire). On doit pouvoir raisonner par récurrence sur le degré, en utilisant le théorème de Bezout sur les coefficients binomiaux et la division euclidienne dans .

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, oui ta généralisation semble en effet plus concise que la mienne, dans celle que j'avais proposé on peut à priori à chaque fois en ôter. Enfin de cette forme pour n non premier.
Je vais poursuivre sur les prochains nombres.

[Seirios]

En fait, la démonstration que j'avais en tête ne fonctionne pas dans tous les cas. On a cependant le résultat suivant :

Soient p et q deux nombres premiers distincts. Alors .

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, et merci de ton aide

Oui ce résultat m'a aussi traversé l'esprit

J'avais montré pour ma part (enfin plutôt vérifié sur plusieurs exemples) que si avec p<q premiers, alors et un polynôme unitaire de plus petit degré engendrait , celui ci étant de degré , mais oui cela est bien équivalent à car on peut rattraper un polynôme unitaire de degré modulo le théorème de Bézout, si on doit avoir unitaire

Une idée pour montrer rigoureusement ce résultat??

[Seirios]

Une idée pour montrer rigoureusement ce résultat??

C'est ce que je pensais, mais une erreur s'est glissée dans ma démonstration...Je vais la reprendre pour voir si le raisonnement peut s'appliquer au moins à certains cas particuliers.

Sinon, une remarque qui pourrait être utile. Si P est un polynôme unitaire minimal tel que P(k) est toujours nul dans , alors le degré de P est supérieur au plus grand facteur premier de n. En effet, si ce n'était pas le cas, on pourrait envoyer P dans un qui est un corps, et tous les coefficients de P devrait alors être divisible par p.

Je pense aussi qu'il serait intéressant de calculer pour certaines grandes valeurs de n, parce que l'on ne traite que des cas où il y a au plus deux facteurs premiers qui apparaissent dans n. Le premier nombre intéressant serait donc 30=2.3.5 ; je n'ai pas eu le courage d'en faire l'étude J'ai tout de même trouver que , ce qui ressemble assez aux autres résultats.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, pour n=30, , et , je sais la relation de Bézout donc on note . Je sais la relation de Bézout donc . Donc en bref est unitaire et cela vient en fait de la relation de Bézout .

De ce modèle là on peut en tirer que si avec les distincts rangés dans l'ordre croissant, alors la famille est première dans sont ensemble donc il existe tel que et donc est unitaire de .

Ceci ne devient plus applicable dès qu'un entier premier apparait au carré dans la décomposition de n...

[Seirios]

Il semble que l'on puisse améliorer au moins certaines des expressions précédentes : http://www.iecn.u-nancy.fr/~eguether/zARTICLE/CE.pdf (page 10).

[RoBeRTo-BeNDeR]

Effectivement, il est vrai que la propriété des degrés pour la multiplication n'est plus conservée dans des anneaux non intègres... Ceci risque de compliquer cela ...