Bonjour,
J'aurais besoin d'aide quant à cette démonstration :J'ai bien compris ce que l'on me demande, ça semble évident mais c'est la rédaction qui me pose problème.
On note AB={ab, a ϵ A, b ϵ B}. Montrer que AB admet une borne supérieure et une borne inférieure.Montrer que, si A et B sont inclus dans R+ alors
sup(AB)=sup(A)sup(B) et inf(AB)=inf(A)inf(B).
Je proposes:
Si A et B bornées et AB non bornée, Ǝx ϵ AB tq pour tout M, on a x>M or x≤ sup(A)*sup(B) donc AB bornée sup.
Si A et B bornées et AB non bornée, Ǝx ϵ AB tq pour tout m, on a x<m or x≥ inf(A)*inf(B) donc AB bornée inf.
Soit x ϵ AB donc x≤ sup(AB) Ǝ a ϵ A et b ϵ B tel que x=a*b, or a≤ sup(A) et b≤sup(B) donc x≤ sup(A)*sup(B).Donc sup(A)*sup(B) est un majorant de AB mais sup(AB) est le plus petit des majorants donc sup(AB)≤ sup(A)*sup(B)
Soit x ϵ AB alors x≤ sup(A*B) mais x=ab≤ sup(A)*b≤ sup(AB)
donc b≤ sup(AB)/sup(A) (car nous sommes dans R+) or b ϵ B donc sup(AB)/sup(A) est un majorant de B et sup(B) est le plus petit des majorants donc sup(B)≤sup(AB)/sup(A)
donc sup(A)*sup(B)≤sup(AB).
On a donc sup(AB)=sup(A)*sup(B)
Même principe pour inf.
Qu'en pensez-vous? Y a-t-il des erreurs?N'y aurait-il pas une démonstration plus "propre"?
D'avance je vous remercie,
Cordialement,
Mägodeoz
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