Bonjour,

J'ouvre cette discussion en cherchant a travers vous, une réponse sur la conjecture appelée « conjecture de Lachkar LM « qui est inconnue pour le moment.

Le principe consiste à dresser un tableau de n lignes et n colonnes et on écrit sur la première ligne la suite des nombres entiers positifs, en intercalant une case pleine avec une case vide soit :
1, ,2, , 3, , 4, , 5, , 6, , 7, , 8, , 9, , 10, , 11, …..
et sur chaque ligne suivante on écrit la valeur de la somme entre deux valeurs consécutives de la ligne précédente, dans la case vide, ce qui équivaut, en notant an les valeurs de la suite d'une certaine ligne et bn celles de la ligne suivante, à :
bn = an + an + 1 .

On obtient ainsi une succession de lignes :

1,....,2,.....,3,......,4,.... ...5,......,6,......,7,....,8, .....,9,.....,10, …..
....3,.....5,..... 7,...., 9,......,11,...,,13,....,15,.. ..17,....19, …
....... 8,... 12,...,,16,.....,20,.... 24,... 28,... 32,... 36, …
...........20,....,28,....36,. .... 44, …
................48,.....64,... . 80, …
....................112....144 ........
.........................256.. ..........
.............................. ....

Les colonnes sont des suites avec raison de 4


La conjecture s'énonce ainsi :
Elle consiste à déterminer la somme des nombres contenus dans un losange. Ces nombres sont placés dans les cases d’un tableau suivant une progression géométrique qui est formée par la somme des nombres consécutives des lignes précédentes qui sont notés dans les cases alternées des lignes suivantes, à chaque opération d’addition des nombres consécutifs précédents.

Exemple

Soit a déterminer la somme des nombres d’un losange dont le sommet est le nombre 3 et ayant 3 nombres par coté
nous allons poser un facteur de multiplication de raison 2 pour chaque nombre de coté du losange, donc on a 3 facteurs de 2 :
soit m = 2x2x2. Donc m = 2n avec n est égale au quantité des nombres par côté ou par diagonale du losange.
Donc la somme sera égale au produit du sommet du losange par ( m – 1)2 m est multiple de 2
On peut aussi écrire la formule de la somme

S = s (2n - 1)2


n est égale au nombres par côté du losange et s est le sommet du losange



,.......,........... 3
.............5 ............ 7
.........8...........12.........16
..............20...........28
......................48


Remarque: les colonnes sont des suites géomatique de raison 4

S = 3(23 – 1)2 sachant que n=3 et s=sommet =3
S= 3x72 = 147

Cette formule est valable pour tout losange de n nombres par coté

Ma question est : que peut-on faire avec cette conjecture ?
Peut-on trouver une utilisation ?

Merci

Salut