Une relation possible entre pi et zeta(3) ?

[invitefd4e7c09]

Bonjour,

De la même façon qu'il existe une relation entre et , pensez vous qu'il existe une relation entre et la constante d'Apéry ?

En cherchant à résoudre dans IR l'équation suivante :
-------------------------------------------------------


avec :
--------
l'inconnue
constante égale à 3.1415926535...
constante d'Apéry égale à 1.2020569031...
l'opérateur d'appellation qui consiste à appeler les décimales d'un réel (l'appelé) dans l'ordre des décimales d'un autre réel (l'appelant)
Exemples :

J'aboutis à la solution
Un réel parmi tant d'autres me direz vous sauf que celui ci à été reconnu par l'inverseur de Simon Plouffe.
Il semblerait qu'il s'agisse du réel obtenu en faisant l'opération suivante :


Sous réserve que les décimales suivantes soient exactement celles de , on obtiendrait une forme "close" (à un opérateur près) de la constante d'Apéry :


-----

[invite76543456789]

Bonjour,

De la même façon qu'il existe une relation entre et , pensez vous qu'il existe une relation entre et la constante d'Apéry ?

Salut!
Globalement on a plutot tendance a penser qu'il n'existe aucune relations entre zeta(3) et pi, en fait il est conjecturé qu'ils sont algébriquements independants (et meme que tous les zeta impairs et pi sont tous algébriquement independants.). Cela dit la conjecture n'est pas prouvé mais y a pas mal de resultats allant dans le sens de la conjecture.

[inviteea028771]

Après même si ils sont algébriquement indépendants, l'opérateur bizarre de anthony_unac peut donner une relation, ça n'est pas impossible

Par contre je doute que ce soit le cas : il est fort probable que quelque soit l'entier pris au hasard, si on ne considère qu'un nombre suffisamment petit de décimal, on puisse reconnaitre une combinaison de nombres classiques qui collent

[invite63e767fa]

Bonsoir,

J'ai un sérieux doute sur ce qu' anthony_unac croit avoir entrevu grâce à l'inverseur de Simon Plouffe et sur la façon dont il interprète l'indication que ce logiciel lui a fourni. Citation :

J'aboutis à la solution
Un réel parmi tant d'autres me direz vous sauf que celui ci à été reconnu par l'inverseur de Simon Plouffe.

En effet, le nombre donné "en pâture" au logiciel comporte seulement 9 chiffres significatifs.
Voici un extrait de la notice d'utilisation du logiciel :
<< All the tests are done if the number of digits is 15 or more, with less digits results are not reliable >>
Le nombre de digits est franchement insuffisant et je pense donc que l'apparente corélation entre ce nombre et la formule recueillie en sortie est extrèmement douteuse.

Ceci n'est aucunement un dénigrement de l'inverseur lui-même, qui est un outil remarquable et puissant. Mais il faut s'en servir avec la plus grande prudence et surtout interpréter correctement ce qu'il en sort. C'est à dire, bien prendre la mesure du degré de confiance qu'on lui accorde, en relation avec la précision des données qu'on lui fourni.
Ceci n'est pas propre à l'inverseur de Simon Plouffe seulement. C'est inhérent à tous les logiciels du même genre.
Une discussion à ce sujet, avec des exemples concrets, est présentée dans l'article "MAHEMATIQUES EXPERIMNTALES", par le lien :
http://www.scribd.com/JJacquelin/documents
.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefd4e7c09]

Salut!
Globalement on a plutot tendance a penser qu'il n'existe aucune relations entre zeta(3) et pi, en fait il est conjecturé qu'ils sont algébriquements independants (et meme que tous les zeta impairs et pi sont tous algébriquement independants.).

Exact, il me semble avoir lu ça sur le net en anglais ou plutôt non, on n'avait déjà du m'en parler et on m'avait donner un lien renvoyant vers de la littérature en anglais.
Reste néanmoins à savoir si un tel opérateur peut être considéré comme une dépendance algébrique.

[invitefd4e7c09]

Après même si ils sont algébriquement indépendants, l'opérateur bizarre de anthony_unac peut donner une relation, ça n'est pas impossible

C'est ce que je pense également, dans l'absolu ce n'est pas à exclure.
Mais au fait c'est quoi un opérateur bizarre ?
Un opérateur est un opérateur après on peut être surpris car ce n'est pas académique mais on reste dans le cadre du ressenti car mathématiquement aucun outil n'est étrange. Peut être que vous pouvez le voir comme une fonction à deux entrées (deux réels a et b) dont l'image serait un réel c (cela vous parlera plus).

Par contre je doute que ce soit le cas : il est fort probable que quelque soit l'entier pris au hasard, si on ne considère qu'un nombre suffisamment petit de décimal, on puisse reconnaitre une combinaison de nombres classiques qui collent

Oh que non alors !
Il ne suffit pas de prendre n'importe quoi pour retomber sur un réel reconnu par l'inverseur de plouffe et je vous invite à essayer pour véritablement vous en convaincre.
Pour le reste je suis plutôt d accord, le nombre de décimal trouvé est insuffisant.

[Médiat]

Mais au fait c'est quoi un opérateur bizarre ?

Par exemple un opérateur que vous ne pouvez pas définir à l'aide d'une formule du premier ordre n'utilisant que les symboles usuels (+, ., s, <, etc.).

Vous affirmez qu'il pourrait y avoir une relation entre et , ce résultat ne pourrait être entériné qu'à la condition absolue que vous ayez une démonstration, ce qui risque d'être très compliqué, surtout sans définition au premier ordre de votre opérateur (je ne dis pas qu'il n'y en a pas, mais juste que vous ne l'avez pas donnée), donc, avant de vous lancer dans une tâche très compliquée, vous devriez, avant toute chose, calculer les 7 décimales suivantes afin de comparer avec les résultats de Plouffe.

[invite06b993d0]

bonjour,

j'essaie de comprendre cette opération "appel". Que fais-tu quand tu trouves un 0 dans une décimale du premier opérande?

[invite63e767fa]

Bonjour,

Pour être très clair, je tiens à préciser que mon message d'hier soir ne refute pas catégoriquement la relation proposée par anthony_unac. Je dis seulement qu'il faut la considérer comme une conjecture extrèmement peu étayée par le niveau de vérification numérique actuel.
En effet, on est dans un cas très similaire à trois des exemples qui figurent dans l'article "MATHEMATIQUES EXPERIMENTALES"
http://www.scribd.com/JJacquelin/documents
Ces trois exemples sont donnés dans un premier temps avec 9 décimales. Dans un second temps, avec 12 décimales on met en évidence que les formules qui avaient été conjecturées sont inadéquates.
Dans le cas qui justifie cette discussion, il faudrait étayer la conjecture avec une vérification numérique avec plus de décimales, 15 et voire encore plus. Si la coïncidence s'avérait se maintenir à ce niveau, alors seulement cela vaudrait la peine de se lancer dans une recherche, probablement ardue, de démonstration formelle. Si non, on risque de perdre son temps à travailler sur une fausse conjecture.
A cette occasion, je salue les autres intervenants, puisque je ne suis pas seul à être de cet avis
.

[invitefd4e7c09]

bonjour,

j'essaie de comprendre cette opération "appel". Que fais-tu quand tu trouves un 0 dans une décimale du premier opérande?

Dans ce cas on appelle la 0eme décimale c est a dire celle positionnée juste avant la première décimale

[invitefd4e7c09]

Vous avez entièrement raison c est la raison pour laquelle j ai mis des guillemets et des SI Quant a tester avec les décimales suivantes j en suis incapable car l inverseur de plouf ne me donne pas suffisamment de decimales

[Médiat]

L'inverseur de Plouffe donne 15 décimales !

[invite06b993d0]

je pense que cette opération est mal définie. En effet, les développements 0.100000... et 0.09999... représentent le même nombre. En notant * l'opération "appel", j'ai :
0.3333... * 0.10000.... = 0.00000.... et
0.3333... * 0.09999... = 0.999999...

[inviteea028771]

Bof, il suffit de préciser que pour les nombres avec un développement décimal fini, on prend celui qui est fini(avec des 0) ou celui qui est infini (avec des 9) au choix. Ca n'est pas pire que de devoir préciser la base ( 0.1 -> 0.2 est en effet différent selon la base utilisée)

[invite4492c379]

je pense que cette opération est mal définie. En effet, les développements 0.100000... et 0.09999... représentent le même nombre. En notant * l'opération "appel", j'ai :
0.3333... * 0.10000.... = 0.00000.... et
0.3333... * 0.09999... = 0.999999...

Hello,

en effet dès que l'on manipule la notation des entiers dans une certaine base ce problème apparaît. Anthony a du mal à définir précisément cet opérateur, mais en en tirant un définition sur plusieurs fils on peut dire :

* on travaille en base 10
* on ne retient que les notations propres qui excluent une infinité de 9 consécutifs si la représentation est de longueur infinie, et qui excluent également tous les 0 terminaux dans le cas d'une représentation finie.
* comment utiliser 0 varie suivant les fils (on le zappe, on prend le chiffre des unités, ...)

Donc l'idée est de partir d'un réel a (resp. b), d'en construire la notation propre unique A (resp. B), de manipuler les lettres de A et B pour obtenir une nouvelle représentation C (qui peut ne pas être propre) d'un unique réel c.

Si on commence à formaliser, on peut dire que l'on part d'un alphabet ={´0´,´1´,´2´,´3´,´4´,´5´,´6´, ´7´,´8´,´9´,´.´} et que l'on définit un langage dont les mots sont tous finis sauf éventuellement un, C étant le mot le plus long de ce langage.

Ce langage est recursivement énumérable (pour des réels calculables on a une procédure pour générer ce langage).

[invitefd4e7c09]

je pense que cette opération est mal définie. En effet, les développements 0.100000... et 0.09999... représentent le même nombre. En notant * l'opération "appel", j'ai :
0.3333... * 0.10000.... = 0.00000.... et
0.3333... * 0.09999... = 0.999999...

Le calcul de vos décimales est exact mais c est la partie entière qui pose soucis

[invitefd4e7c09]

Cela est insuffisant pour des raisons que je préciserai ce soir

[invite76543456789]

Salut,
Il est clair que l'operateur ne peut etre qualifié d'algébrique (qui a une signification precise). Maintenant comme il a été dit, l'operateur en question est défini en fonctions de plusieurs choix, du coup je pense pas qu'il soit tres pertinent (la naturalité c'est quand meme tres important en maths).
A la limite c'est plus un operateur sur les suites que sur les nombres.

[invite76543456789]

D'ailleurs pour ce genre de questions, il est quand meme plus difficile de faire plus profond et plus "comprenhensive" que la conjecture des periodes de Gorthendieck. C'est de facto tres difficile

[inviteea028771]

A la limite c'est plus un operateur sur les suites que sur les nombres.

Oui, et on peut Anisi plus facilement le définir.

Par exemple un autre opérateur, qui agit sur les suites à valeur dans N pourrait être :

avec:



Pour retomber sur un opérateur qui travaille sur les nombres comme celui d'anthony_unac, on peut définir un opérateur qui transforme un nombre en suite, par exemple de la façon suivante :



Avec :


Exemple :





Et (si je me suis pas planté en comptant )

[invite4492c379]

Il faudrait, pour ce que j'ai compris de l'opérateur d'Anthony, juste ne pas avoir de suite infinie de 0 terminaux et ne pas répéter les "indices" déjà utilisés.

[invite06b993d0]

si j'ai bien compris, seuls 10 chiffres décimaux du second opérande interviennent dans l'opération d'Anthony-Unac (1 à gauche et 9 à droite de la virgule). Si le premier opérande a un développement fini ou périodique, le développement décimal du résultat est périodique.

[invitefd4e7c09]

Bonsoir,

Comme promis je vous livre la raison pour laquelle le nombre de décimales fournies par l'inverseur de Plouffe est insuffisant pour pouvoir tester la présumée égalité :


Pour alléger cette égalité je nommerai la constante fournie par l'inverseur de Plouffe :


Il me reste ainsi à tester si :
----------------------------


Je réalise le test en effectuant donc l'appellation de par et en comparant le réel obtenu avec la constante d'Apéry

Données :
-----------
est connu au moins jusqu'à la 10 000e décimale =3.141592653589793...
est connue jusqu' à la 16e décimale uniquement (en espérant d'ailleurs que la 16e décimale ne soit pas une valeur arrondie)
L'inverseur de Plouffe annonce que =0.2500963503561857

Détails du calcul :
-----------------
appelle la 1ere décimale de à savoir 2
appelle la 4e décimale de à savoir 0
appelle la 15e décimale de à savoir 5
appelle la 9e décimale de à savoir 0
appelle la 2e décimale de à savoir 5
appelle la 6e décimale de à savoir 6
appelle la 5e décimale de à savoir 9
appelle la 3e décimale de à savoir 0
appelle la 58e décimale de à savoir x_58
appelle la 97e décimale de à savoir x_97
appelle la 93e décimale de à savoir x_93
appelle la 23e décimale de à savoir x_23
appelle la 8e décimale de à savoir 5
etc ...

Remarques :
-------------
Je me suis planté dans mon calcul car le réel obtenu n'est pas mais
Il y a des décimales qu'on ne parvient pas à définir (tels que x_58, x_97 etc ...) car on ne connait pas suffisamment de décimales de la constante
Vous noterez également que le résultat colle jusqu'à 13 e décimale (5)

[Médiat]

sur OEIS on trouve : = 1.2020569031595942853997381615 114499907649862923404988817922 715553418382057863130901864558 7360933525814619915

Aujourd'hui 100 000 001 000 décimales sont connues.

En voilà 2000 :
1.2020569031595942853997381615 114499907649862923404988817922 715553418382057863 130901864558736093352581461991 577952607194184919959986732832 137763968372079001 614539417829493600667191915755 222424942439615639096641032911 590957809655146512 799184051057152559880154371097 811020398275325667876035223369 849416618110570147 157786394997375237852779370309 560257018531827900030765471075 630488433208697115 737423807934450316076253177145 354444118311781822497185263570 918244899879620350 833575617202260339378587032813 126780799005417734869115253706 562370574409662217 129026273207323614922429130405 285553723410330775777980642420 243048828152100091 460265382206962715520208227433 500101529480119869011762595167 636699817183557523 488070371955574234729408359520 886166620257285375581307928258 648728217370556619 689895266201877681062920081779 233813587682842641243243148028 217367450672069350 762689530434593937503296636377 575062473323992348288310773390 527680200757984356 793711505090050273660471140085 335034364672248565315181177661 810922279191022488 396800266606568705190627597387 735357444478775379164142738132 256957319602018748 847471046993365661400806930325 618537188600727185359482884788 624504185554640857 155630071250902713863468937416 826654665772926111718246036305 660465300475221703 265136391058698857884245041340 007617472791371842774108750867 905018896539635695 864308196137299023274934970241 622645433923929267278367865571 555817773966377191 281418224664126866345281105514 013167325366841827929537266050 341518527048802890 268315833479592038755984988617 867005963731015727172000114334 767351541882552524 663262972025386614259375933490 112495445188844587988365323760 500686216425928461 880113716666635035656010025131 275200124346538178852251664505 673955057386315263 765954302814622423017747501167 684457149670488034402130730241 278731540290425115 091994087834862014280140407162 144654788748177582604206667340 250532107702583018 381329938669733199458406232903 960570319092726406838808560840 747389568335052094 151491733048363304771434582553 921221820451656004278

[invitefd4e7c09]

Merci Médiat mais ce sont les décimales de la constantes c qui me manquent pour poursuivre le test Les décimales de la constante d Apery étant effectivement bien connues

[breukin]

La raison la plus fondamentale qui fait me douter que puisse générer dans l'appellation d'une constante exprimable, c'est le rôle particulier que devrait jouer dans cette relation.
Eh oui, l'opération d'appellation dépend de la base, donc en soi, ce n'est pas une bonne opération. La somme, le produit, ne dépendent pas de la base.

[invitefd4e7c09]

La raison la plus fondamentale qui fait me douter que puisse générer dans l'appellation d'une constante exprimable, c'est le rôle particulier que devrait jouer dans cette relation.
Eh oui, l'opération d'appellation dépend de la base, donc en soi, ce n'est pas une bonne opération. La somme, le produit, ne dépendent pas de la base.

L appellation est réalisable dans toutes les bases de numération

[inviteea028771]

Mais les résultats seront différent selon la base. Même si tu as a -> pi = zeta(3) en base 10, tu n'aura pas nécessairement a -> pi = zeta(3) en base 2

[breukin]

C'est cette raison qui fait que l'appellation n'appelle rien du tout.

[invitefd4e7c09]

C'est cette raison qui fait que l'appellation n'appelle rien du tout.

Je ne vois pas le rapport ???