prob de primitive!

[invite4963e568]

Je dois trouver une primitive de la fonction
f(x) = cos^2005(x)sin^3(x)

sin^3(x)=sin^2(x)*sin(x)
cos^2005(x)=cos^2004(x)*cos(x)
mais je vois pas comment le décomposer plus... quelqu'un à une idée pour trouver cette primitive???
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[nissart7831]

sin^3(x)=sin^2(x)*sin(x)

Bonjour,

Bonne idée, et tu peux exprimer sin²(x) en fonction de cos(x). Et après c'est tout bon pour calculer une primitive.

[invite4963e568]

oui en utilisant sin^2(x)=1-cos^2(x)

mais mon problème c'est cos^2005(x)

[nissart7831]

Réécris f(x) en utilisant une autre écriture de sin³(x) grâce à la relation que tu as trouvée. Simplifie et termine ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4963e568]

cos^2005(x)*sin^3(x)
=cos^2005(x)*sin^2(x)*sin(x)
=cos^2005(x)*(1-cos^2(x))*sin(x)
=cos^2005(x)*sin(x)-(cos^2(x)*sin(x))

Pour la primitive [-cos(x)]'=sin(x)
mais je vois pas comment continuer...

[nissart7831]

D'abord, tu as mal développé entre la 3ème et la 4 ème ligne.

Ensuite, ça te ramène à trouver une primitive d'une fonction de la forme cosⁿ(x)sin(x). T'as pas une petite idée ? Utilise justement cos'(x) = -sin(x), mais pas seulement.

[invite4963e568]

f(x)=cos^2005(x)*sin^3(x)
=cos^2005(x)*sin^2(x)*sin(x)
=cos^2005(x)*[1-cos^2(x)]*sin(x)
=cos^2005(x)-[cos^2005(x)*cos^2(x)]*sin(x)
=[cos^2005(x)-cos^2007(x)]*sin(x)
=[cos^2005(x)*sin(x)]-[cos^2007*sin(x)]


On utilise [cos^2006(x)]’=2006*(cos(x))’*cos^2005(x)
[cos^2008(x)]’=2008*(cos(x))’*cos^2007(x)

donc
f(x)= {-(1/2006)*[cos^2006(x)]’}-{(-1/2008)*[cos^2008(x)]’}

d’où
F(x)=[(-1/2006)*cos^2006(x)]+[(1/2008)*cos^2008(x)]

[invite4963e568]

une erreur:
F(x)=[(-1/2006)*cos^2006(x)]+[(1/2008)*cos^2008(x)]+c (c appartient à R)


est-ce que c'est possible de vérifier mon résultat avec la calculatrice??

[nissart7831]

Voilà, résultat correct (je n'ai pas vérifié toutes tes lignes de calcul, mais les étapes principales sont bonnes).

Tu n'es pas obligé de mettre la constante puisqu'on t'a demandé une primitive. Par contre, si on te demandait toutes les primitives, le c serait indispensable.

[invite4963e568]

c'est possible de vérifier avec la calculatrice ou pas?

[nissart7831]

Sur ça, je ne sais pas te répondre. Je fais les primitives et dérivées sans calculatrice, à l'ancienne : à la main.

[invite4963e568]

ok ben c'est pas grave, on va espérer que c'est juste.

j'ai une autre fonction du même genre qui me pose problème

f(x)=cos^3(2x)*sin(2x)
=cos^2(2x)*cos(2x)*sin(2x)

On utilise cos(2x)=1-sin^2(x) et sin(2x)=2sin(x)cos(x)
mais je sais pas ce que donne cos^2(2x)
...

[nissart7831]

Le meilleur moyen pour vérifier que c'est juste : tu dérives et tu dois retomber sur la fonction de départ.

Sinon, pour la nouvelle, il faut pas chercher trop loin, c'est la même astuce que l'autre fonction.

Mais en fait tu as deux manières de faire:
- Soit tu gardes les 2x dans les cos et sin et tu trouveras un résultat avec des cos(2x) et sin(2x)
- Soit, si tu veux avoir un résultat avec des sin(x) et des cos(x), tu utilises les formules que tu as données. Tu n'en as pas besoin d'autre. Tu sais exprimer cos²(2x) en fonction de sin(2x), il ne faut pas que le 2x te trouble.

Essaye les deux méthodes, cela te fera un bon entrainement. Et exercice supplémentaire, vérifie que les deux résultats sont équivalents.

[invite4963e568]

je crois pas que c'est correct:...

f(x)=cos^3(2x)*sin(2x)
=cos^2(2x)*cos(2x)*sin(2x)

On utilise cos²(2x)=1-sin²(2x)
cos(2x)=1-2sin²(x)
sin(2x)=2sinxcosx

En replaçant par tout cela, ça devient compliqué donc je sais pas si c'est la bonne méthode... quelqu'un peut m'aider????

[nissart7831]

Bonjour,

comme je te l'ai indiqué dans mon post précédent, il y a deux méthodes pour le faire, mais une est plus lourde que l'autre.
Un conseil, utilise la première, c'est à dire que tu gardes les 2x dans les cos et les sin. Et comme ça, ça se fait très vite.

Une fois que tu as trouvé la primitive, qui sera fonction de cos(2x) et sin(2x), et que tu veux exprimer ta primitive en fonction de cos(x) et sin(x), là tu utilises tes formules cos(2x) = ... et sin(2x) = ... .

La méthode que tu utilisais est lourde car tu utilises ces formules trop tôt. Ca te rajoute alors plein de cos(x) et sin(x), mais on peut s'en sortir quand même.

Sinon tes premières étapes où tu gardes les 2x dans les cos et sin sont correctes, continue comme ça.

[invite4963e568]

DONC
f(x)=cos^3(2x)*sin(2x)
=cos^2(2x)*cos(2x)*sin(2x)

on utilise [cos²(x)]'=3cos(2x)*cos(2x)'*cos²(2x)

f(x)=[-cos^3(2x)'/(3cos(2x))]*sin((2x))'
F(x)=[-cos²(2x)/3]*sin(2x)

...
EUH....

[nissart7831]

DONC
f(x)=cos^3(2x)*sin(2x)
=cos^2(2x)*cos(2x)*sin(2x)

Jusque-là, OK

on utilise [cos²(x)]'=3cos(2x)*cos(2x)'*cos²(2x)
....

Là, je comprends pas ce que tu veux faire.
Tu te compliques. Comme je te l'ai dit précédemment, tu pourrais utiliser toujours la même astuce cos²(2x) = 1 - sin²(2x). Mais arrêtons là dans cette voie.

En effet, hier soir, je t'ai aiguillé sur une manière plus compliquée pour rien (même la plus simple des deux). Excuse-moi, je devais être fatigué. Mais cela marche quand même (ça pourra te faire un bon entrainement).

En fait, tu peux le faire directement, tu reprends depuis le début et tu cherches une primitive d'une fonction de la forme cosⁿ(2x)sin(2x). Tu peux trouver, ne te laisse pas troubler par les 2x.

[invite4963e568]

c'est ce que j'ai fait

je me suis trompé en fait de ce que je t'ai écrit:
en fait j'utilise
(cos^3(2x))' = 3*(cos(2x))'*cos²(2x)

[nissart7831]

c'est ce que j'ai fait

je me suis trompé en fait de ce que je t'ai écrit:
en fait j'utilise
(cos^3(2x))' = 3*(cos(2x))'*cos²(2x)

Non, non, attention. La dérivée de cosⁿ(U), c'est - n cos^n-1(U)sin(U)U'. La dérivée de cos, c'est -sin et surtout ne pas oublier le U'. Quand U=x, U'=1, donc pas de problème. Mais ici ce n'est pas le cas, donc ...

[EDIT] Pardon, je n'avais pas vu le ' sur le cos(2x). Donc c'est juste, mais exprime ce que c'est (voir ci-dessus).

Par contre, pour ta primitive, cela ne te mène pas directement à la solution, mais tu en es très proche.

[invite4963e568]

c'est une bonne idée

f(x)=cos^3(2x)*sin(2x)

[cos^4(2x)]'=4*(cos(2x))'*cos^3(2x)
et [-cos(2x)]'=sin(2x)
donc f(x)= {[cos^4(2x)]'/[(4*(cos(2x))']}*(-cos(2x))'

F(x)= -cos^4(2x)/4
mais je dois avoir fait une erreur quelque part puisque le resultat correct est
F(x)= -cos^4(2x)/8

[nissart7831]

Tu as oublié le U' !!!!

[invite4963e568]

ok

dérivée de cos^4(2x)=-8cos^3(2x)*sin(2x)

et comme f(x)=cos^3(2x)*sin(2x)

f(x)= {-[cos^4(2x)]'/[8sin(2x)]}*sin(2x)
=[-cos^4(2x)/8] + c (c appartenant à R)
=c -[cos^4(2x)/8] (c appartenant à R)

[nissart7831]

Et bien, c'est tout bon.

Comme je te l'ai dit précédemment, si tu veux avoir seulement du x dans ton cos, c'est maintenant que tu utilises tes formules. Mais je ne sais pas si c'est demandé pour ton exercice.

[invite4963e568]

dans mon exo je dois trouver l'ensemble des primitives sur R

[nissart7831]

Euh, je ne sais pas pourquoi tu me dis ça. Ca ne change rien à ce que je t'ai dit. Le fait d'exprimer le cos avec des 2x ou des x ne change rien. Ce seront les mêmes fonctions, elles peuvent juste s'écrire de manière différente.

Donc l'ensemble de tes solutions est bien celui que tu as donné (avec la constante !). Mais par propriété du cos (tes formules), il peut s'écrire d'une autre manière, mais cela ne change pas l'ensemble des solutions!

Donc c'est fini !