[1°S] Fonctions dérivées...

[invite0ac24513]

Salut !

J'ai un petit problème avec un exercice sur les dérivées. Si vous pouviez un peu m'aider...


Soit f la fonction définie sur ]-1 ; 1[ par f(x) = 1/(1+x).

1) Calculer le nombre dérivée de f en zero :
-> J'ai trouvé f´(0) = -1 et je ne pense pas m'être trompé, j'ai vérifié.


2) En déduire l´approximation affine de f au voisinage de 0 :
-> J'ai trouvé f(0+x) = -x + 1. Là aussi, j'ai vérifié et ça me parait bon.

3) Calculer en fcontion de x l´erreur commise quand on choisit 1-x pour approximation de f(x) :
-> J'ai e(x) = (x²)/(1+x) et ça a aussi l'air juste !

4) Montrer que cette aproximation donne toujours une valeur approché de f(x) par défaut.
-> La je bloque... Dois-je simplement dire que puisque la fonction e est définie sur le même intervalle que f, alors on trouvera toujours une valeur arrondi ? A mon avis c´est plus poussé...

5) Montrer que pour x positif, cette valeur est majorée par x² :
-> Pareil, je trouve pas... Dois-je simplement dire que si x est supérieur ou égal à 0, alors le quotient (x²)/(1+x) est positif ?


Merci d'avance !
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[nissart7831]

Bonjour,

Questions 1), 2) et 3), c'est Ok.

4) On te dit que l'approximation donne toujours une valeur par défaut de f(x). Ce qui veut dire que quand tu calcules une valeur approchée de f(x) en utilisant 1-x, cette valeur est toujours inférieure à la vraie valeur de f(x). C'est ça la valeur par défaut (le contraire est la valeur par excès). Or, tu connais l'erreur de ton approximation e(x). C'est ce qu'il faut ajouter à ton approximation pour que cela donne f(x). Alors, d'après toi, montrer que 1-x est toujours inférieur à f(x) revient à montrer quoi sur l'erreur e(x) ?

5) L'erreur, c'est e(x). On te demande de montrer que pour x positif elle est majorée par x², cela revient à montrer que pour x positif e(x) <= x².

[invite0ac24513]

Merci bien, chèr Niçois !

4) Tiens je ne comprenait pas le terme "par défaut" comme celà...

Alors, d'après toi, montrer que 1-x est toujours inférieur à f(x) revient à montrer quoi sur l'erreur e(x)

-> Comme ça je dirai que celà revient à montrer que 1-x additioné à mon erreur donne f(x)... Ah ba non, pusique ça revient à faire ce qu'on a calculé pour trouver e...

Mais sinon on peut aussi montrer que l'équation :
(1-x) + e(x) > 1/(1+x)
n'a pas de solution non ?


5) Là non plus je ne partais pas avec la bonne notion de "majorer".

Merci bien de ton aide !

[nissart7831]

Mais sinon on peut aussi montrer que l'équation :
(1-x) + e(x) > 1/(1+x)
n'a pas de solution non ?

Non, c'est pas ça ! pour < aussi, il n'y a pas de solution, puisque en fait il y égalité. C'est bien grâce à ça qu'on a calculé e(x). e(x) est le terme correctif qu'il faut ajouter à l'approximation (1-x) pour que cela donne (égalité) f(x).

e(x) = f(x) - (1-x) Si on veut montrer que (1-x) est une valeur par défaut de f(x), cela revient à montrer que 1-x est inférieur à f(x).
Alors qu'est ce que cela veut dire pour f(x) - (1-x), et donc pour e(x) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0ac24513]

Ah oué mince... :-/

Alors qu'est ce que cela veut dire pour f(x) - (1-x)

-> Il faut que cette différence soit positive sur ]-1;1] non ?

Et donc montrer que la valeur trouvé pour e(x), est sur cet intervalle toujours positive non ?

-> Edit = selon mes calculs, ça marche pour x > 1 puisque le numérateur est toujours positif...
Ca me parait bon !

[nissart7831]

Et oui !

Je suppose que tu voulais dire que c'est bon pour x > -1.

[invite0ac24513]

Oui bien sur, c'est ce que je voulais dire.

Par contre pour la 5, tu pourrais m'aiguiller, car je ne vois pas comment faire...
Il faut montrer que :

x² > (x²)/(1+x)
x²(1+x) > x²
x²(1+x)-x² > 0
x²+x^3 -x² > 0
x^3 > 0

Or, le cube d'un chiffe positif est positif, donc cet inéquation est vrai.
C'est bon ?

[nissart7831]

Ok, tu peux faire comme ça.

Tu peux aussi dire que pour x positif, 1+x 1 donc 1/(1+x) 1,
d'où x²/(1+x) x².

Attention, ce sont des inégalités larges et non strictes, car x positif veut dire x 0 et non x > 0.

[invite0ac24513]

Ah ba je m'étais vraiment compliqué les choses !
Bon sinon, j'ai encore un problème...

6) A combien près la valeur 0.99 constitue-t-elle une approximation de 1/1.01

-> Je pensais dire que :
aproximation = 1-x = 1-0.01 = 0.99...
Mais là, le "combien près" vaut 0...

...

[nissart7831]

Comment trouves-tu ton combien près ?

Le combien près, c'est ton erreur d'aproximation, soit x²/(1+x) donc ...

[invite0ac24513]

Oui bien sur mais ça me parait faux...
Apparement ici, pour trouver l'erreur, x= 0.01.
Ca ferait :
e(0.01) = 9,9*10^-5

Ah oui, c'est peut-être ça finalement...
Bon écoute, je ne t'emebete plus, je vais mettre ça !

[nissart7831]

Mais, c'est ça !! Qu'est ce qui te trouble ?

Tu peux d'ailleurs vérifer avec ta calculatrice.

[invite0ac24513]

Non c'est juste que la première fois j'avais pas trouvé ça, mais après vérification, c'est bien juste !

Bravo à toi !

Et merci !

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