polynome a coefficients complexe a partir de k autres polynomes

[inviteb06604b8]

Bonjour,
récemment, on a corrigé assez rapidement un exercice en classe mais je ne comprends pas la correction. l'énoncé est le suivant:

Soient k un entier strictement positif. et P un a polynôme à coefficients complexe.
Montrer qu'il existe k polynômes à coefficients complexe tels
que

le prof nous a donné une rapide correction que j'ai du mal à comprendre:

Donc en posant :


etc
On obtient bien l'égalité voulue.

Je ne comprends pas d'où lui est venu l'idée de poser , pourquoi d'ailleurs le coefficient "de degré 1" est ?le coefficient de "degré 2" doit-il être ?
Et en quoi ça prouve ce qu'on cherche : bref j'ai rien compris et donc je ne vois pas comment résoudre ce problème.

Comment auriez vous fait?(même une méthode différente de celle du prof est la bienvenue)

merci d'avance.
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[MMu]

Tout repose sur la division d'un entier par : , avec .
Manifestement
avec si , et
On déduit facilement ,
avec
---------
Une autre méthode, assez proche, par récurrence . Je te laisse voir le cas .
Supposons maintenant
Considérons la division de par : , avec , donc .
On prend si , et .. et je te laisse conclure ..

[inviteb06604b8]

merci boucoup pour la réponse qui m'a fait pas mal avancé mais je n'arrive pas à comprendre un petit détail:

Tout repose sur la division d'un entier par : , avec .
Manifestement
avec si , et

Dans ce cas on a



donc :

or si on prend par exemple m=1 qu'on divise par k on a 1=0*k+1 donc p_m=0 qui est bien différent de 1.