polynome a coefficients complexe a partir de k autres polynomes

inviteb06604b8 · 01/03/2012, 19h41

Bonjour,
récemment, on a corrigé assez rapidement un exercice en classe mais je ne comprends pas la correction. l'énoncé est le suivant:

Soient k un entier strictement positif. et P un a polynôme à coefficients complexe.
Montrer qu'il existe k polynômes $\text{[math]}$ à coefficients complexe tels
que $\text{[math]}$

le prof nous a donné une rapide correction que j'ai du mal à comprendre:

$\text{[math]}$
Donc en posant :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
etc
On obtient bien l'égalité voulue.

Je ne comprends pas d'où lui est venu l'idée de poser $\text{[math]}$ , pourquoi d'ailleurs le coefficient "de degré 1" est $\text{[math]}$ ?le coefficient de "degré 2" doit-il être $\text{[math]}$ ?
Et en quoi ça prouve ce qu'on cherche : bref j'ai rien compris et donc je ne vois pas comment résoudre ce problème.

Comment auriez vous fait?(même une méthode différente de celle du prof est la bienvenue)

merci d'avance.

invite3240c37d · 04/03/2012, 03h02

Tout repose sur la division d'un entier $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ .
Manifestement $\text{[math]}$
avec $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$
On déduit facilement $\text{[math]}$ ,
avec $\text{[math]}$
---------
Une autre méthode, assez proche, par récurrence . Je te laisse voir le cas $\text{[math]}$ .
Supposons maintenant $\text{[math]}$
Considérons la division de $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ .
On prend $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ .. et je te laisse conclure ..

inviteb06604b8 · 07/03/2012, 21h51

merci boucoup pour la réponse qui m'a fait pas mal avancé mais je n'arrive pas à comprendre un petit détail:

Envoyé par MMu

Tout repose sur la division d'un entier $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ .
Manifestement $\text{[math]}$
avec $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$

Dans ce cas on a
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
donc :
$\text{[math]}$
or si on prend par exemple m=1 qu'on divise par k on a 1=0*k+1 donc p_m=0 qui est bien différent de 1.

polynome a coefficients complexe a partir de k autres polynomes

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