question simple inverse matrice existance

[invite4680bd1a]

Bonjour je voudrais savoir quand est ce qu'une matrice 3x3 dans R(ou dans C) n'admet pas d'inverse.

Merci beaucoup
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[invite829bf453]

Elle n'a pas d'inverse quand son déterminant est nul, ce qui indique que des lignes ne sont pas indépendantes (et des colonnes aussi donc)

[invitea0db811c]

Une jolie façon de voir le déterminant en taille 3x3 :

reprenons en détails ce qui a été dit précédemment :
On vérifie par calcul que l'image du vecteur de base (1,0,0) par la matrice donne la première colonne de la matrice, que l'image du vecteur de base (0,1,0) donne la deuxième colonne, et de même pour (0,0,1).

Or on sait qu'une matrice est inversible si elle envoie une base de R^3 sur une base de R^3, donc la matrice est inversible si et seulement si la famille de vecteur composé des trois colonnes de la matrice est aussi une base. Or on constate assez facilement que cette famille est une base si et seulement si le parallélépipède défini par ces trois vecteur est "non applati", c'est à dire que son volume est non nul. Or le déterminant de la matrice n'est rien d'autre que la valeur du dit volume. D'où le résultat.

Y'a de beau dessins sur la page wiki pour bien voir : http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9...C3%A9matiques) (dans la partie "déterminant de trois vecteurs")

[invite4680bd1a]

Ok parce que j'ai une quetion,

determiner les valeurs réels de a pour lequel la matrice ci dessous admet un inverse

2 1 0 1
1 2 1 0
a 1 4 1
0 1 0 1

Or pour moi si on prend que
1 0 1
2 1 0
1 4 1
1 0 1

1 4 1 est indépendant non? Celà signifie que ça marche pour tout a?

Merci de votre réponse

[A voir en vidéo sur Futura]