Vos plus belles approximations

**anthony_unac** · 03/03/2012, 22h27

Bonjour,

Et si nous exposions nos plus belles approximations. Qu'elles fassent intervenir une ou plusieurs constantes mathématiques, qu'elles soient issues de vos travaux ou tout simplement aperçues dans une revue, je vous invite à les dévoiler :

Voici donc quelques approximations à taton :

1/ Faisant intervenir le nombre d'or phi
******************************

$\text{[math]}$

on frôle le 1 de peu.

2/ Faisant intervenir les racines cubiques
****************************** *
$\text{[math]}$

3/ En reunissant ces deux approximations
****************************** ***
$\text{[math]}$

Cordialement
Anthony

**Médiat** · 04/03/2012, 05h55

$\text{[math]}$

etc. avec l'inverseur de plouffe, il y a l'embarras du choix, il suffit de rechercher par exemple 10.000000001, et on obtient 100 résultats proches de 10.

En bidouillant avec les approximations par fractions continues (ou autres approximations rationnelles), on peut en fabriquer facilement :
$\text{[math]}$ (presque 1

)

invite705d0470 · 04/03/2012, 07h26

Bon, c'est moins bien que médiat, mais $\text{[math]}$

(la constante de Brun, bien sûr ^^)

**anthony_unac** · 04/03/2012, 20h52

Bonsoir
S il est vrai que l exercice de l approximation n a plus beaucoup d intérêt depuis la création d inverseur type Simon plouf ou autre, il n en demeure pas moins que certains résultats passent totalement au travers les mailles du filet (cf l approximation 1 ci dessus)
De ce fait il est toujours possible de mettre la main sur de "belles approximation".

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**stefjm** · 04/03/2012, 21h18

Bonjour,
J'aime assez :
$\text{[math]}$

Si Media sait des choses sur
http://forums.futura-sciences.com/ma...6-e-pi-pi.html

merci d'avance.

Cordialement.

**stefjm** · 04/03/2012, 21h37

Comment utiliser pi et son logarithme pour fabriquer des entiers...

$\text{[math]}$

**Médiat** · 05/03/2012, 09h15

Envoyé par anthony_unac

Bonsoir
S il est vrai que l exercice de l approximation n a plus beaucoup d intérêt depuis la création d inverseur type Simon plouf ou autre, il n en demeure pas moins que certains résultats passent totalement au travers les mailles du filet (cf l approximation 1 ci dessus)
De ce fait il est toujours possible de mettre la main sur de "belles approximation".

Bonjour,

Avant toute chose je tiens à préciser que je n'avais pas l'intention d'être désagréable à propos du sujet, mais juste mettre le doigt sur le fait que la question n'est peut-être pas assez bien cadrée.

Par contre le résultat de Snowey passe peut-être au travers de l'inverseur de Plouffe, mais il ne passe pas au travers de "En bidouillant avec les approximations par fractions continues (ou autres approximations rationnelles), on peut en fabriquer facilement", d'où sans doute la remarque de Snowey.

**Médiat** · 05/03/2012, 09h22

Bonjour,

Envoyé par stefjm

Si Media sait des choses sur
http://forums.futura-sciences.com/ma...6-e-pi-pi.html

Désolé, mais je n'ai pas la moindre idée, sur ce qui pourrait justifier cette approximation, à part le calcul.

**breukin** · 05/03/2012, 10h33

http://en.wikipedia.org/wiki/Almost_integer

**stefjm** · 05/03/2012, 10h58

Bonjour,
Dommage! Un rien m'émerveille.

Par exemple :

$\text{[math]}$

avec p, premier supérieur.

$\text{[math]}$

du à http://www.plouffe.fr/

Cordialement.

**stefjm** · 05/03/2012, 13h31

Envoyé par stefjm

$\text{[math]}$

avec p, premier supérieur.

Cela donne aussi un presqu'entier pour des valeurs particulière de p non premier. (mais carré)
$\text{[math]}$

J'avoue que cela m'épate pas mal!

Cordialement.

**stefjm** · 05/03/2012, 21h52

Envoyé par stefjm

$\text{[math]}$

Bonsoir,
Coquille sur S(16)
$\text{[math]}$

**breukin** · 05/03/2012, 23h02

J'aurais appelé plus généralement ces nombres :
$\text{[math]}$
et donc on parle ici de $\text{[math]}$
Trouve-t-on des choses intéressantes avec d'autres $\text{[math]}$ ou avec $\text{[math]}$ ?

**stefjm** · 06/03/2012, 06h29

Bonjour,
Oui, par exemple
$\text{[math]}$

Pas un entier mais presque un rationnel.

Je n'ai pas la moindre idée de ce qui pourrait se cacher derrière de telles relations.

Cordialement.

**stefjm** · 06/03/2012, 08h21

Apparament, les $\text{[math]}$ avec p premier ou carré sont presqu'entiers aussi...

$\text{[math]}$

Les $\text{[math]}$ sont de la forme presqu'entier ajouté de $\text{[math]}$ .

Les $\text{[math]}$ sont de la forme presqu'entier.

Les $\text{[math]}$ sont de la forme presqu'entier ajouté de $\text{[math]}$ .

Les $\text{[math]}$ sont de la forme presqu'entier.

Les $\text{[math]}$ sont de la forme presqu'entier ajouté d'un inverse d'entier.

Les $\text{[math]}$ sont de la forme presqu'entier.

$\text{[math]}$ presqu'entier ajouté d'un inverse d'entier.

$\text{[math]}$ presqu'entier.

$\text{[math]}$ presqu'entier ajouté d'un inverse d'entier.

Apparemment :

$\text{[math]}$ sont de la forme presqu'entier ajouté d'un inverse d'entier.

$\text{[math]}$ sont de la forme presqu'entier.

Coté $\text{[math]}$ , il sont tous aussi de la forme presqu'entier ajouté d'un inverse d'entier, mais c'est moins flagrant.

C'est quand même pas banale comme relation!
S'il y a un volontaire pour expliquer à un novice en maths...

D'avance merci.

**Médiat** · 06/03/2012, 10h06

Je viens de vérifier (par le calcul et non par une démonstration) que pour p assez grand

$\text{[math]}$ , difficile de croire à une coïncidence

**stefjm** · 06/03/2012, 10h53

Envoyé par Médiat

Je viens de vérifier (par le calcul et non par une démonstration) que pour p assez grand
$\text{[math]}$ , difficile de croire à une coïncidence

Merci Médiat.
J'arrive à deviner vaguement pourquoi p^4 (parce que primitive de n^3)
Mais le -1 ???
$\text{[math]}$

et

$\text{[math]}$ ???

**Médiat** · 06/03/2012, 11h30

Envoyé par stefjm

$\text{[math]}$ ???

En attendant : $\text{[math]}$ .

**Médiat** · 06/03/2012, 12h58

$\text{[math]}$ .
Je vois bien à quoi ressemble le numérateur, mais pour le dénominateur, je ne vois pas ...

Pour ceux qui voudraient chercher, je pense que le dénominateur de $\text{[math]}$ est 13.7!

**stefjm** · 06/03/2012, 14h23

Envoyé par Médiat

$\text{[math]}$ .
Je vois bien à quoi ressemble le numérateur, mais pour le dénominateur, je ne vois pas ...

Pour le numérateur c'est du
$\text{[math]}$ alternativement pour les $\text{[math]}$ impairs.

Envoyé par Médiat

Pour ceux qui voudraient chercher, je pense que le dénominateur de $\text{[math]}$ est 13.7!

C'est à dire [13 1 2 3] en fraction continue.

Je vais aussi regarder l'allure de ce qui reste. (mais sous quelle forme?)

**stefjm** · 06/03/2012, 14h25

Envoyé par stefjm

$\text{[math]}$ ???

Oubli d'un carré.

$\text{[math]}$ ???

**Médiat** · 06/03/2012, 14h41

Correction le "dénominateur" de $\text{[math]}$ serait plutôt (7!*13)/691

**Médiat** · 06/03/2012, 14h44

Envoyé par stefjm

Oubli d'un carré.

$\text{[math]}$ ???

Je confirme

**stefjm** · 06/03/2012, 16h41

Envoyé par Médiat

Correction le "dénominateur" de $\text{[math]}$ serait plutôt (7!*13)/691

J'ai aussi.
Pour $\text{[math]}$ j'ai 24 en dénominateur.
Pour $\text{[math]}$ j'ai 4,54747313662216 ??

**Médiat** · 06/03/2012, 17h24

Envoyé par stefjm

Pour $\text{[math]}$ j'ai 24 en dénominateur.

Je confirme.

Envoyé par stefjm

Pour $\text{[math]}$ j'ai 4,54747313662216 ??

Je n'ai pas pris mes notes ...

**Médiat** · 06/03/2012, 18h27

De mémoire pour S₁₅ le dénominateur est de l'ordre de 212/960 (mais pas exactement)

**breukin** · 06/03/2012, 19h53

Est-ce qu'une explication viendrait du fait que :

$\text{[math]}$
Si on prends $\text{[math]}$ , on aurait :
$\text{[math]}$
Reste plus qu'à remplacer avec les nombres de Bernouilli, et on trouverait que c'est presque un rationnel.
Il suffit ensuite de trouver les conditions sur $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ pour que ce soit presque un entier.

Pour le $\text{[math]}$ , on remplace la fonction $\text{[math]}$ par la fonction $\text{[math]}$ .

Reste à voir si l'approximation est légitime. Je l'ignore.

**Médiat** · 07/03/2012, 05h49

Bonjour,

Deux choses :
1) j'ai récupéré mes notes et donc la bonne valeur du "dénominateur" de S₁₅ est 3617/16320.
2) Merci à breukin d'avoir soulevé la piste des nombres de Bernouilli, pour l'instant je n'en suis qu'à la phase contemplative, mais les "dénominateurs" pour k = 11 est 691/13.7!, et pour k = 15, 3617/16320, or B_{11 + 1} = -691/2730 et B_{15 + 1} = -3617/510. Ce ne peut être un hasard.

**Médiat** · 07/03/2012, 06h23

breukin pour la piste Bernouilli

J'arrive à la formule (non encore démontrée, c'est purement expérimental)

$\text{[math]}$

Le polynome P(p) est celui déjà vu et facile à généraliser.

**breukin** · 07/03/2012, 07h52

Donc effectivement, ma formule donne un équivalent, et non pas le presque entier.
$\text{[math]}$
ce qui permet d'avoir le coefficient multiplicatif.
Ce qui donne, avec le polynôme plus précis du numérateur :
$\text{[math]}$
Nous n'avons toujours pas d'explication pourquoi la série est presque entière seulement pour certains $\text{[math]}$ premiers.

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