démontrer que U est une base de E

[invite4680bd1a]

Bonjour, j'ai un petit problème, J'ai réussi quasiment tous le problèmes données en exercice sauf celui ci

Soit K=C(essemble complexe) E=P3(C) ( ensemble des polynomes de degré 2 à coefficients complexes)

Demontrer que U[x->1+x,x->1-x,1+x²]

Evidemment il faut donc que je montre que U est libre et générateur

Comme 1+x² est de coefficient 2, il ne peut pas etre exprimé comme combinaison linéaire de (1+x) et (1-x)
Donc étudier la "liberté"(je sais pas si ça se dis) de U reviens à étudier celle de (1+x) et (1-x)
On cherche a et B appartenant à C tels que

a(1+x)+B(1-x)=0


Je pense que je me suis déja trompé non?

Merci de votre aide
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[NicoEnac]

Bonjour,

Ce n'est que mon avis mais j'utiliserais la matrice de passage entre la base canonique (1,X,X²) et celle qu'on te propose et vérifierais que cette matrice est inversible en calculant le déterminant ce qui devrait être assez rapide pour une matrice 3x3.

[NicoEnac]

Cela dit, ta méthode était correcte. En continuant tu aurais trouvé que a = 0 et b = 0

[invite4680bd1a]

a(1+x)+B(1-x)=0
pour tout x a+ax+b-bx=0
a+b+x(a-b)=0
Donc (a-b)=0 et 0(=a+b)
Donc a= et b=0


C'est ça?

Je n'ai pas comrpis la méthode que tu aurais fait...

[A voir en vidéo sur Futura]

[NicoEnac]

Bonjour,

Ta réponse est correcte.

Concernant ma réponse, voici l'explication :
Je considère la base canonique de P₃(C) : (1,X,X²) (c'est la base de polynôme "basique")
On te demande d'établir si (1+X², 1-X, 1+X) est également une base.
Quelle est la matrice de passage de la base canonique vers la supposée base ?
1+X² = 1.1 + 0.X + 1.X²
1-X = 1.1 + (-1).X + 0.X²
1+X = 1.1 + 1.X + 0.X²

La matrice de passage est donc :


Or cette matrice a un déterminant non nul, elle est donc de rang maximum c-à-d 3. Elle transforme donc une famille libre en une autre famille libre (c'est un isomorphisme).
La famille étant libre et de rang 3 dans un espace de dimension 3, elle est également génératrice.

[invite4680bd1a]

Bonjour,
Ok mais j'ai pas trop compris

"Or cette matrice a un déterminant non nul, elle est donc de rang maximum c-à-d 3. Elle transforme donc une famille libre en une autre famille libre (c'est un isomorphisme)."


Peux-tu m'expliquer si c'est possible s'il te plait?
Merci

[NicoEnac]

"La matrice a un déterminant non nul" :
je suppose que tu sais calculer un déterminant Il est non nul, cela signifie que la matrice est inversible.

"Elle est donc de rang maximum c-à-d 3" :
le rang d'une application f (ou de sa matrice représentative) représente la dimension de Im(f).
Par exemple, considérons R² (un plan) et f, la projection sur l'axe des abscisses et g, rotation d'angle a autour de O.
Si je vous donne un point M(x,y), êtes-vous capable de me donner son antécédant unique par f ? Non ! Et par g ? Oui !
Dire cela est équivalent dire que le rang de f est inférieur à la dimension de l'espace de départ (R² donc 2) et celui de g y est égal.
Pour déterminer le rang de f, on regarde quelle est l'image de R² par f : c'est l'axe des abscisses donc de dimension 1 => rang(f) = 1
Cela se traduit par le fait que la matrice représentative de f n'est pas inversible et celle de g l'est.


=> det(M_f) = 0 et det(M_g) = 1

Tout ça pour dire que f transforme R² en un espace de dimension inférieure et donc que l'image d'une base par f ne peut pas être une base.
Alors que pour g, dont l'image parcourt R², l'image d'une base est une base.

Ainsi pour ton problème, j'ai regardé la matrice de passage entre la base canonique (1,X,X²) à celle qu'on te propose et, constatant qu'elle était inversible donc de rang 3, j'ai conclu qu'elle formait également une base de P₃(C).