Racine de la dérivation

[invite855de8be]

Bonjour,

Existe-t-il une opération qui, répétée deux fois, donne la dérivée ?
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[breukin]

Je vais faire une réponse osée. Oui, la demie-dérivée !
Je m'explique.
Pour la fonction , on a
Or il existe une extension de la factorielle dans les complexes, la fonction telle que et vérifiant .
On peut alors écrire
Par généralisation peut-être pas si abusive que ça, on peut donc définir, pour une fonction plus générale :

En particulier (car finalement, on pourrait aussi prendre la dérivée i-ème avec ) :


Appliqué deux fois, on a alors :

ce qui est bien ce qu'on attend.

Ensuite, on peut appliquer cela à une fonction ayant localement un développement limité.
Il semble évident qu'il faudra un peu plus de formalisme, notamment dans les complexes, mais pour les réels positifs, il n'y a pas trop d'ambiguïté pour les puissances fractionnaires.

[invite76543456789]

Salut!
Ca depend essentiellement de la ou tu te places.
Si tu te places dans un contexte polynomial, par exemple, alors non la dérivée n'admet pas de "racines".
Pour les fonctions analytiques ca doit pas etre possible, non plus.
Sinon je ne sais pas trop.

Pourrais tu preciser le contexte?

[breukin]

Je précise.
Si la fonction peut s'écrire autour de sous la forme :
, alors
on a une fonction demie-dérivée définie à droite par :

et une fonction demie-dérivée définie à gauche par :


On note que la fonction demie-dérivée n'est pas définie en .
En effet, la demie-dérivée à droite de la constante est .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4492c379]

Bonjour,

Existe-t-il une opération qui, répétée deux fois, donne la dérivée ?

Hello,

quelquechose comme l'analyse fractionnaire ?

Edit: un pdf peut-être intéressant : http://www.math.u-psud.fr/~fdubois/t...ge-01nov08.pdf

[breukin]

Ma dernière remarque démontre que ma remarque en fin de premier message prend toute sa force, car il semble qu'il y ait autant de demie-dérivées que de points de référence.

[invite3ba0dddb]

bonjour,
Question intéressante que je ne m'étais jamais posé (pourtant j'adore les questions farfelues )

[invite855de8be]

Haaa merci pour l'article Wikipédia

[invite63e767fa]

Bonjour,

Existe-t-il une opération qui, répétée deux fois, donne la dérivée ?

La réponse est OUI et même plus que cela !
En effet, surtout depuis Liouville et Riemann (et même avant, avec plusieurs précurseurs), l'opérateur de dérivation fractionnaire et d'intégration fractonnaire est connu, permettant d'effectuer des dérivations ou des intégrations de degrés non entiers.
Le cas particulier évoqué par "aarnaud", la dérivation de degré 1/2, a été signalé par Leibnitz dès 1695. J'emploie le mot "signalé" pour ne pas en donner une importance exagérée, compte-tenu du peu d'avance de la théorie à cette époque.
Il existe une très vaste litérature sur le sujet "Fractional Calculus" et sur les applications à la physique.
Pour ceux qui veulent se contenter de prémices, dans un article de vulgarisation : "La dérivation fractionnaire", par le lien :
http://www.scribd.com/JJacquelin/documents

[stefjm]

Bonsoir,

Dans l'espace image des transformées de Laplace, une multiplication par correspond à une dérivée par rapport à t de l'original.
C'est assez naturel de se demander ce qui correspond à une multiplication par coté original.
Et ça marche...

Cordialement.

[NicoEnac]

Bonjour,

Très intéressant ce fil. Par contre, j'ai pu lire qu'on trouve des applications en physique mais auriez-vous des exemples concrets ? Je n'arrive pas à imaginer de problèmes où faire intervenir ces dérivées fractionnaires. De plus, à la manière de la dérivée simple qui donne les variations de la fonction initiale, ces dérivées fractionnaires nous renseignent-elles d'une manière quelconque sur la fonction ?

[stefjm]

Bonjour,
Il faudra poser la question en physique.
Cordialement.

[invite63e767fa]

A partir du moment où il est question des applications en physique, comme le dit stefjm il serait préférable de poser la question sur le forum de physique.
Vous pouvez trouver quelques références d'articles ou d'ouvrages en dernière page de l'article "La dérivation fractionnaire", par le lien:
http://www.scribd.com/JJacquelin/documents
Par le même lien, dans un autre article : "The Phasance Concept", la dérivation fractionnaire intervient comme outil mathémathique, avec en application des exemples de modèles de conducteurs ioniques, des modèles de diélectriques imparfaits, ainsi que leurs réseaux électriques équivalents.