congruence

[invite466d2360]

Bonsoir à tous,

J'ai une petite question....Comment prouver "proprement" que la puissance quatrième d’un entier non multiple de 5 est toujours congrue à 1 modulo 5?

D'avance je vous remercie,

Mägodeoz
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[Amanuensis]

(x-2)(x-1)(x+1)(x+2) = x⁴ - 1 - 5(x²-1)

[invite466d2360]

Merci de ta réponse Amanuensis. heu je ne comprends pas....Pourrais tu m'expliquer pourquoi tu as posé cela....?

[invite07dd2471]

Salut,

tu peux écrire avec a = 1,2,3 ou 4
Alors . (formule du binome de Newton, si tu connais pas tu peux toujours faire le développement au carré deux fois).

Tu peux alors remarquer que tous les termes (sauf 1) sont divisibles par 5, donc congrus à zéro modulo 5.

Il n'y a plus qu'à regarder le dernier qui est celui correspondant à i=0 dans la formule, c'est à dire . Or , , et enfin

cqfd

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite466d2360]

J'ai bien compris Merci beaucoup et bonne soirée

[invite07dd2471]

De rien. Au passage, la solution de Amanuensis est plus élégante, si tu prends x non divisible par 5, tu as forcément x-1 ou x-2 ou x+1 ou x+2 qui est divisible par 5 donc le terme de gauche est divisible par 5 donc comme tu obtiens également le résultat.

[invite466d2360]

Je prends les 2 méthodes.^^ En effet celle de Amanuensis est plus "facile" mais j'ai bien compris les 2.
Merci encore,
Mägodeoz