congruence x+x²+...+x^n=2[5]

[invite881f2306]

bonsoir,
j'ai un petit probleme dans cet exercice , et vraiment j'ai besoin d'aide :

dans l'exercice j'ai trouvé que x=2[5] , maintenant quels sont les nombres naturels n qui donne :
x+x²+....+x^n=2[5]


merci par avance .
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[invite0a963149]

Pour commencer un indice :

x+x^2+...+x^n sont les teermes consécutifs d'une suite géométrique de raison x

[invite881f2306]

Un=x^n ... et x+x²+...+x^n c'est la somme !! n'est ce pas ? ... mais le probleme c'est dans la congruence
.... comment =2[5] ....... je ne peux pas continuer vraiment ... merci pour ta reponse ..

[invite0a963149]

bon dans ton cours t'as que la somme est égale a (1-x^(n+1))/(1-x) -1 non ?

ça va simplifier un peu

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite881f2306]

bon dans ton cours t'as que la somme est égale a (1-x^(n+1))/(1-x) -1 non ?

ça va simplifier un peu

Mais la suite geometrique Un, commence par U1 c'est pas U0 .. c'est pourquoi la somme est egale a S=U1*(1-x^n))/(1-x) ... n'est ce pas ?? et U1=x = 5k+2 ..... merci

[NicoEnac]

Bonjour,

(Lorsque j'écris "=", cela signifie "congru à")
x=2[5] donc x² = 4[5] et x³ = x.x² = 2x4 = 6 = 1[5]
Donc x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+... + xⁿ = x+x²+x³+x³.x+x³.x²+x³.x³+....+xⁿ
= (n/3).(x+x²+x³) si n est multiple de 3 (relation1)
= (n-1)/3.(x+x²+x³) + xⁿ si n = 1[3] (relation2)
= (n-2)/3.(x+x²+x³) + x^n-1 + xⁿ si n = 2[3] (relation3)
Cela donne :
relation1 : (n/3)*(2+4+1) = (n/3)*7 = (n/3)*2 = 2n/3 [5]
relation2 : (n-1)/3*2 + 2 = ((n-1)/3+1)*2 = 2(n+2)/3 [5]
relation3 : ((n-2)/3)*2 + 2 + 4 = ((n-2)/3)*2 + 1 = (2n-1)/3 [5]

[invite881f2306]

Bonjour,

(Lorsque j'écris "=", cela signifie "congru à")
x=2[5] donc x² = 4[5] et x³ = x.x² = 2x4 = 6 = 1[5]
Donc x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+... + xⁿ = x+x²+x³+x³.x+x³.x²+x³.x³+....+xⁿ
= (n/3).(x+x²+x³) si n est multiple de 3 (relation1)
= (n-1)/3.(x+x²+x³) + xⁿ si n = 1[3] (relation2)
= (n-2)/3.(x+x²+x³) + x^n-1 + xⁿ si n = 2[3] (relation3)
Cela donne :
relation1 : (n/3)*(2+4+1) = (n/3)*7 = (n/3)*2 = 2n/3 [5]
relation2 : (n-1)/3*2 + 2 = ((n-1)/3+1)*2 = 2(n+2)/3 [5]
relation3 : ((n-2)/3)*2 + 2 + 4 = ((n-2)/3)*2 + 1 = (2n-1)/3 [5]

Merci pour ton aide... mais comment puis-je répondre ?
par ce que jai compris les relation 1 2 3 mais je ne peux pas arrive a la réponse et je pense que lutilisatin de suites facilite mieux la réponse .. nest ce pas .?...

merci.

[invite881f2306]

oooooh .... j'ai besoin d'aiiiiiide .

[invite881f2306]

ohh ... SVP ... un peu d'aide .........

[invitea3eb043e]

Sûr qu'on peut toujours faire compliqué mais parfois, un peu de tâtonnement fait l'affaire.
Alors fais une triple colonne :
Colonne 1 : valeur de n qui vaudra 1, 2, 3...
Colonne 2 : valeur de x^n modulo 5 sachant que x congru à 2 modulo 5
Colonne 3 : valeur de la somme des x précédents modulo 5

Tu verras une périodicité qu'il suffit d'exploiter.

[invite881f2306]

Sûr qu'on peut toujours faire compliqué mais parfois, un peu de tâtonnement fait l'affaire.
Alors fais une triple colonne :
Colonne 1 : valeur de n qui vaudra 1, 2, 3...
Colonne 2 : valeur de x^n modulo 5 sachant que x congru à 2 modulo 5
Colonne 3 : valeur de la somme des x précédents modulo 5

Tu verras une périodicité qu'il suffit d'exploiter.

tout d'abord. merci pour ta réponse ...

vous voulez dire que je dois étudier les restes de le division eucleudienne de Sn sur 5 ...

voilà les colonnes :

N X^n Sn

1 2 2

2 4 1

3 3 4

4 1 0

5 2 2

6 4 1

…n…x^n…Sn


ma remarque c'est que les restes sont :



2 pour n=4k+1

1 pour n=4k+2

4 pour n=4k+3

0 pour n=4k



___ le reste va etre 2 seulement si n=4k+1 ........ n'est ce pas ???

cordialement .

[Amanuensis]

Oui, mais il s'agirait de le démontrer, maintenant.

[invite881f2306]

Oui, mais il s'agirait de le démontrer, maintenant.

oh ... mais comment ??

[Amanuensis]

Quelle est la différence entre S_n et S_n+4 ?

[invite881f2306]

Quelle est la différence entre S_n et S_n+4 ?

Il n'ya pas de différence !! par ce que n=4k+1 et n+4=4k+5=4k'+1 ?? donc Sn = Sn+4

Vous voulez dire que je dois prouver ca par le raisonnement par récurrence ?... n'est ce pas ?

[Amanuensis]

Vous voulez dire que je dois prouver ca par le raisonnement par récurrence ?... n'est ce pas ?

Par exemple... (Ce n'est pas le seul moyen.)

[invitea3eb043e]

On peut simplement faire remarquer que le mode de calculs se reproduit exactement à l'identique toutes les 4 lignes donc ça donnera évidemment le même résultat.

[Amanuensis]

On peut simplement faire remarquer que le mode de calculs se reproduit exactement à l'identique toutes les 4 lignes donc ça donnera évidemment le même résultat.

Maths à la XXIème siècle ? De mon temps on procédait par des suites d'affirmations partant de prémisses et liées par la logique pour atteindre le résultat. Mais je n'ai pas trop suivi les développements récents.