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congruence x+x²+...+x^n=2[5]



  1. #1
    charle630

    Arrow congruence x+x²+...+x^n=2[5]

    bonsoir,
    j'ai un petit probleme dans cet exercice , et vraiment j'ai besoin d'aide :

    dans l'exercice j'ai trouvé que x=2[5] , maintenant quels sont les nombres naturels n qui donne :
    x+x²+....+x^n=2[5]


    merci par avance .

    -----


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  3. #2
    blablatitude

    Re : congruence x+x²+...+x^n=2[5]

    Pour commencer un indice :

    x+x^2+...+x^n sont les teermes consécutifs d'une suite géométrique de raison x

  4. #3
    charle630

    Re : congruence x+x²+...+x^n=2[5]

    Un=x^n ... et x+x²+...+x^n c'est la somme !! n'est ce pas ? ... mais le probleme c'est dans la congruence
    .... comment =2[5] ....... je ne peux pas continuer vraiment ... merci pour ta reponse ..

  5. #4
    blablatitude

    Re : congruence x+x²+...+x^n=2[5]

    bon dans ton cours t'as que la somme est égale a (1-x^(n+1))/(1-x) -1 non ?

    ça va simplifier un peu

  6. #5
    charle630

    Re : congruence x+x²+...+x^n=2[5]

    Citation Envoyé par blablatitude Voir le message
    bon dans ton cours t'as que la somme est égale a (1-x^(n+1))/(1-x) -1 non ?

    ça va simplifier un peu
    Mais la suite geometrique Un, commence par U1 c'est pas U0 .. c'est pourquoi la somme est egale a S=U1*(1-x^n))/(1-x) ... n'est ce pas ?? et U1=x = 5k+2 ..... merci

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    NicoEnac

    Re : congruence x+x²+...+x^n=2[5]

    Bonjour,

    (Lorsque j'écris "=", cela signifie "congru à")
    x=2[5] donc x² = 4[5] et x3 = x.x² = 2x4 = 6 = 1[5]
    Donc x+x²+x3+x4+x5+x6+... + xn = x+x²+x3+x3.x+x3.x2+x3.x3+....+xn
    = (n/3).(x+x²+x3) si n est multiple de 3 (relation1)
    = (n-1)/3.(x+x²+x3) + xn si n = 1[3] (relation2)
    = (n-2)/3.(x+x²+x3) + xn-1 + xn si n = 2[3] (relation3)
    Cela donne :
    relation1 : (n/3)*(2+4+1) = (n/3)*7 = (n/3)*2 = 2n/3 [5]
    relation2 : (n-1)/3*2 + 2 = ((n-1)/3+1)*2 = 2(n+2)/3 [5]
    relation3 : ((n-2)/3)*2 + 2 + 4 = ((n-2)/3)*2 + 1 = (2n-1)/3 [5]
    Dernière modification par NicoEnac ; 31/03/2011 à 13h05.
    "Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde

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  10. #7
    charle630

    Re : congruence x+x²+...+x^n=2[5]

    Citation Envoyé par NicoEnac Voir le message
    Bonjour,

    (Lorsque j'écris "=", cela signifie "congru à")
    x=2[5] donc x² = 4[5] et x3 = x.x² = 2x4 = 6 = 1[5]
    Donc x+x²+x3+x4+x5+x6+... + xn = x+x²+x3+x3.x+x3.x2+x3.x3+....+xn
    = (n/3).(x+x²+x3) si n est multiple de 3 (relation1)
    = (n-1)/3.(x+x²+x3) + xn si n = 1[3] (relation2)
    = (n-2)/3.(x+x²+x3) + xn-1 + xn si n = 2[3] (relation3)
    Cela donne :
    relation1 : (n/3)*(2+4+1) = (n/3)*7 = (n/3)*2 = 2n/3 [5]
    relation2 : (n-1)/3*2 + 2 = ((n-1)/3+1)*2 = 2(n+2)/3 [5]
    relation3 : ((n-2)/3)*2 + 2 + 4 = ((n-2)/3)*2 + 1 = (2n-1)/3 [5]
    Merci pour ton aide... mais comment puis-je répondre ?
    par ce que jai compris les relation 1 2 3 mais je ne peux pas arrive a la réponse et je pense que lutilisatin de suites facilite mieux la réponse .. nest ce pas .?...

    merci.

  11. #8
    charle630

    Re : congruence x+x²+...+x^n=2[5]

    oooooh .... j'ai besoin d'aiiiiiide .

  12. #9
    charle630

    Red face Re : congruence x+x²+...+x^n=2[5]

    ohh ... SVP ... un peu d'aide .........

  13. #10
    Jeanpaul

    Re : congruence x+x²+...+x^n=2[5]

    Sûr qu'on peut toujours faire compliqué mais parfois, un peu de tâtonnement fait l'affaire.
    Alors fais une triple colonne :
    Colonne 1 : valeur de n qui vaudra 1, 2, 3...
    Colonne 2 : valeur de x^n modulo 5 sachant que x congru à 2 modulo 5
    Colonne 3 : valeur de la somme des x précédents modulo 5

    Tu verras une périodicité qu'il suffit d'exploiter.

  14. #11
    charle630

    Smile Re : congruence x+x²+...+x^n=2[5]

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Sûr qu'on peut toujours faire compliqué mais parfois, un peu de tâtonnement fait l'affaire.
    Alors fais une triple colonne :
    Colonne 1 : valeur de n qui vaudra 1, 2, 3...
    Colonne 2 : valeur de x^n modulo 5 sachant que x congru à 2 modulo 5
    Colonne 3 : valeur de la somme des x précédents modulo 5

    Tu verras une périodicité qu'il suffit d'exploiter.
    tout d'abord. merci pour ta réponse ...

    vous voulez dire que je dois étudier les restes de le division eucleudienne de Sn sur 5 ...

    voilà les colonnes :

    N X^n Sn

    1 2 2

    2 4 1

    3 3 4

    4 1 0

    5 2 2

    6 4 1

    …n…x^n…Sn


    ma remarque c'est que les restes sont :



    2 pour n=4k+1

    1 pour n=4k+2

    4 pour n=4k+3

    0 pour n=4k



    ___ le reste va etre 2 seulement si n=4k+1 ........ n'est ce pas ???

    cordialement .

  15. #12
    Amanuensis

    Re : congruence x+x²+...+x^n=2[5]

    Oui, mais il s'agirait de le démontrer, maintenant.

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  17. #13
    charle630

    Re : congruence x+x²+...+x^n=2[5]

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Oui, mais il s'agirait de le démontrer, maintenant.
    oh ... mais comment ??

  18. #14
    Amanuensis

    Re : congruence x+x²+...+x^n=2[5]

    Quelle est la différence entre Sn et Sn+4 ?

  19. #15
    charle630

    Re : congruence x+x²+...+x^n=2[5]

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Quelle est la différence entre Sn et Sn+4 ?
    Il n'ya pas de différence !! par ce que n=4k+1 et n+4=4k+5=4k'+1 ?? donc Sn = Sn+4

    Vous voulez dire que je dois prouver ca par le raisonnement par récurrence ?... n'est ce pas ?

  20. #16
    Amanuensis

    Re : congruence x+x²+...+x^n=2[5]

    Citation Envoyé par charle630 Voir le message
    Vous voulez dire que je dois prouver ca par le raisonnement par récurrence ?... n'est ce pas ?
    Par exemple... (Ce n'est pas le seul moyen.)

  21. #17
    Jeanpaul

    Re : congruence x+x²+...+x^n=2[5]

    On peut simplement faire remarquer que le mode de calculs se reproduit exactement à l'identique toutes les 4 lignes donc ça donnera évidemment le même résultat.

  22. #18
    Amanuensis

    Re : congruence x+x²+...+x^n=2[5]

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    On peut simplement faire remarquer que le mode de calculs se reproduit exactement à l'identique toutes les 4 lignes donc ça donnera évidemment le même résultat.
    Maths à la XXIème siècle ? De mon temps on procédait par des suites d'affirmations partant de prémisses et liées par la logique pour atteindre le résultat. Mais je n'ai pas trop suivi les développements récents.

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