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congruence



  1. #1
    m4x_7

    congruence

    Bonjour à tous

    On me propose dans un exercice d'étudier une équation d'inconnue a :
    a²+9=3^n où a appartient a N, n appartient a N, et n≥3

    1- Il faut montrer que si n≥3 , 3^n est congrue à 1 ou 3 modulo 4.
    2- Montrer que si a existe, il est pair et déduire que n est également pair.
    3- Et enfin si on pose n=2p où p est un entier naturel, p≥2 . Déduire d'une factorisation de 3^n - a² que l'équation proposée n'a pas de solution.

    pour le 1- j'ai commencer a étudier les congruences de a²+9 d'abord quand a est paire ( a²≡1[4] donc a²+9≡10[4] )
    puis quand a est impaire ( a²≡0[4] donc a²+9≡9[4] )

    Mais après sa je ne vois pas bien où aller!

    Pour le 2- je n'ai eu aucun problème

    En revanche le 3- Je n'est aucune piste...

    Pouriez-vous m'éclairer ??!!

    Merci bocoup

    -----


  2. #2
    MiMoiMolette

    Re : congruence

    Pour la 1, je ne suis pas d'accord avec ta méthode

    On ne te dit pas que 3^n = a²+9, on te dit qu'on a tel qu'on a cette équation.
    On te demande quelles sont les congruences possibles de 3^n à 4.

    Pour ce faire, prends les deux cas, n impair et n pair.

    n pair peut s'écrire : 2k, avec k appartenant à Z.


    Or, (je vais te donner des formules générales)

    Et si , alors

    De ces deux formules, tu peux résoudre le cas n pair.

    Pour le cas n impair, tu peux écrire que n = 2k + 1.
    Donc

    Là encore tu te serviras des mêmes formules pour trouver les congruences possibles.
    (bon, tu peux rajouter celle-ci : , alors )
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  3. #3
    MiMoiMolette
    Pour la question 3 :

    On te dit que n = 2p.

    Donc

    Je t'ai donné plus haut cette formule :

    Donc peut-il s'écrire d'une manière qui permette la factorisation de ? (réponse : oui, bien sûr mais trouve-la)

    Hm pour la suite, faut voir d'abord ce que tu as compris de tout ça (et aussi que je cherche un peu xD)
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  4. #4
    m4x_7

    Thumbs up Re : congruence

    Merciiii bocoup pour ces indications..!!!

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