congruence

[invite994a24a2]

Bonjour à tous

On me propose dans un exercice d'étudier une équation d'inconnue a :
a²+9=3^n où a appartient a N, n appartient a N, et n≥3

1- Il faut montrer que si n≥3 , 3^n est congrue à 1 ou 3 modulo 4.
2- Montrer que si a existe, il est pair et déduire que n est également pair.
3- Et enfin si on pose n=2p où p est un entier naturel, p≥2 . Déduire d'une factorisation de 3^n - a² que l'équation proposée n'a pas de solution.

pour le 1- j'ai commencer a étudier les congruences de a²+9 d'abord quand a est paire ( a²≡1[4] donc a²+9≡10[4] )
puis quand a est impaire ( a²≡0[4] donc a²+9≡9[4] )

Mais après sa je ne vois pas bien où aller!

Pour le 2- je n'ai eu aucun problème

En revanche le 3- Je n'est aucune piste...

Pouriez-vous m'éclairer ??!!

Merci bocoup
-----

[invite1237a629]

Pour la 1, je ne suis pas d'accord avec ta méthode

On ne te dit pas que 3^n = a²+9, on te dit qu'on a tel qu'on a cette équation.
On te demande quelles sont les congruences possibles de 3^n à 4.

Pour ce faire, prends les deux cas, n impair et n pair.

n pair peut s'écrire : 2k, avec k appartenant à Z.


Or, (je vais te donner des formules générales)

Et si , alors

De ces deux formules, tu peux résoudre le cas n pair.

Pour le cas n impair, tu peux écrire que n = 2k + 1.
Donc

Là encore tu te serviras des mêmes formules pour trouver les congruences possibles.
(bon, tu peux rajouter celle-ci : , alors )

[invite1237a629]

Pour la question 3 :

On te dit que n = 2p.

Donc

Je t'ai donné plus haut cette formule :

Donc peut-il s'écrire d'une manière qui permette la factorisation de ? (réponse : oui, bien sûr mais trouve-la)

Hm pour la suite, faut voir d'abord ce que tu as compris de tout ça (et aussi que je cherche un peu xD)

[invite994a24a2]

Merciiii bocoup pour ces indications..!!!

[A voir en vidéo sur Futura]