la transformée de la transformée de Fourier

[invite8c6bae12]

Salutation ^^

Voici mon problème, donc nous sommes dans le cas d'un montage 4f --> Objet--> lentille 1--> lentille 2 --> Image

Et on me demande de montrer que TF(TF(f(x,y))=f(-x,-y) donc que la transformée de la transformée de Fourier est la fonction opposée ^^

Tout ce que je sais en fait c'est que la transformée de Fourier 2D est celle-ci :

F(u,v) = S(-infini,+infini)S(-infini,+infini) [f(x,y).exp(i2pi(ux+vy)]dxdy

Donc ça c'est la transformée, mais comment montrer que si on refait la transformée de fourrier ça va tout simplement nous redonner f(-x,-y)? O_o

J'ai fais quelque recherches mais je n'ai rien trouver sur la transformée de la transformée de Fourier T_T

Help me please !

Merci d'avance !

Au début j'ai mis ce sujet dans la section physique, mais il faut avouer que c'est plus une partie mathématique qu'autre chose ^^
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[NicoEnac]

Bonjour,

Ma réponse est à prendre avec des pincettes car la transformée de Fourier remonte à quelques temps pour moi.

Je vois mal comment faire une transformée de Fourier d'une transformée de Fourier car avec la TF on passe du domaine spatial/temporel au domaine fréquentiel.
En d'autres termes : s(t) ou s(x) -> S(f). Comment alors faire la TF d'un signal fréquentiel ?

[invite8c6bae12]

Exact, on passe en effet d'un domaine spatial à un domaine fréquentiel f(x,y) --> f(u,v) (chez nous les physiciens ) mais justement dans l'expérience que je fais (qui est donc le montage 4f ^^) l'image d'un objet passe tout d'abord par une lentille ce qui nous donne une première transformation de Fourier qui nous conduit à un spectre de Fourier, puis par une seconde lentille qui nous REdonne une transformation de Fourier et qui nous donne une image inversée de l'objet ! (d'ou f(-x,-y)) et le soucis c'est que je ne vois pas du tout comment démontrer qu'une transformation d'une transformation de Fourier nous donne la fonction inverse, enfin bref, la démonstration d'une DOUBLE transformation de Fourier...

[inviteea028771]

Si je ne me plante pas, ça se fait assez simplement à l'aide de la transformée de Fourier inverse:




Donc

Un petit changement de variable Y -> -Y, et on a :



(tout ça a un coefficient normalisateur près selon la definition que l'on utilise de la transformée de Fourier)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bruno]

Je vois mal comment faire une transformée de Fourier d'une transformée de Fourier car avec la TF on passe du domaine spatial/temporel au domaine fréquentiel.
En d'autres termes : s(t) ou s(x) -> S(f). Comment alors faire la TF d'un signal fréquentiel ?

C'est tout le problème de la vision temps-fréquence, elle occulte le fait que la transformée de Fourier directe ou inverse n'est qu'un opérateur linéaire agissant sur une certaine fonction. En abandonnant la notation au profit de la notation opérationelle , il n'est plus choquant d'écrire:



etc... La démonstration donnée par Tryss est correcte, mais elle cache des problèmes de convergence lorsqu'il écrit:



Pour être plus rigoureux on peut (doit?) faire appel à la théorie des distributions, une démo alternative est donnée ici: http://www.youtube.com/watch?v=s99rd_tIozY (28")

[inviteea028771]

Tout à fait, je me place dans le cadre ou tout se passe bien au niveau des convergences (grosso modo dans l'espace de Schwartz), sinon ça devient un poil plus embêtant. (ceci dit, j'aurai du le préciser )

Ici l'auteur du message original n'a pas précisé dans quel espace vivait sa fonction f, donc c'est un peu délicat de répondre précisément. Vu le dispositif physique, f est visiblement à support compact, donc si on peut considérer qu'elle est infiniment dérivable, on peut se placer dans S et on est content, sinon il faudra effectivement travailler un peu plus

[NicoEnac]

C'est tout le problème de la vision temps-fréquence, elle occulte le fait que la transformée de Fourier directe ou inverse n'est qu'un opérateur linéaire agissant sur une certaine fonction.

C'est bien pour cela que j'ai précisé que ma réponse serait à prendre avec des pincettes.
Merci en tout cas pour la petite démo, me montrant que j'avais une vision restreinte de cette notion.
Physiquement (et même concrètement), que représente une transformée de Fourier appliquée 2x ?

[Bruno]

Concrètement, faire deux fois Fourier revient à inverser le signal d'origine: