Théorème de Cauchy Lipschitz

[invite8e3bb111]

Bonjour,
Voilà je bloque sur un exercice depuis quelques heures. J'ai réussis à faire la première question. Je sollicite votre aide pour la question 2).

Soit (E) l'équa diff x'=f(x) avec f:R->R de classe C1. Soit (J,x) une solution maximale de (E).

1) Montrer que s'il existe t∈J telle que x'(t)=0 alors x est stationnaire et J=R.
2) En déduire que toutes les solutions de (E) sont monotones, et strictement monotones si elles ne sont pas stationnaires.

Merci
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[invite07dd2471]

Salut,

pourtant la 1ere est sans doute la plus difficile. En effet, soit x une solution non stationnaire, si elle n'est pas strictement monotone, alors ...

EDIT : je suis un boulet j'avais pas vu le TOUTES qui était pourtant en gras..

[invite76543456789]

Bonjour,
Si x'(t)=0 pour un certain t, que peux tu dire de la fonction constante qui faut x(t)?

[invite855de8be]

Pour la 2 :

Si x solution non stationnaire
Alors x' ne s'annule pas (d'après la 1)
Donc comme x' continue, x' est de signe constant et jamais nul
Donc x est strictement monotone

[A voir en vidéo sur Futura]