[Exercice] application théorème Cauchy Lipschitz

[inviteb06604b8]

Bonjour,
J'ai suivi une option de maths introduisant les équations différentielles et j'ai un peu de mal à saisir un concept lié au théorème de Cauchy-Lipschitz.
Notez qu'étant en première année de licence on nous a juste donné un bref aperçu de ce dit théorème qui nous affirme alors que pour nous qu'une équation différentielle soumis à une condition initiale (problème de Cauchy si j'ai bien compris) admet une unique solution : autrement dit les graphes de l'équation différentiellent ne se croise pas.
il est possible néanmoins que j'ai mal compris ce qu'on a essayé de m'apprendre: Dans ce cas peut être me corrigeriez vous?

Au vu d'un controle, je refais les exercices et un problème survient dans un exercice :

Exercice1

soit l'équation differentielle y'=y².
Montrer que f(x)=0 est solution et en deduire que les autres solutions ne s'annule pas.

Pour montrer que f(x)=0 est solution, je remplace dans l'équation et là aucun problème.
Ensuite j'explique le fait que les autres solutions ne peuvent pas s'annuler en invoquant le théorème que Cauchy-Lipschitz : Si ces fonction s'annule leurs graphe croiseront la fonction nulle ce qui est impossible selon le théorème (si j'ai bien compris là encore...)

Le problème apparait lors de l'exercice suivant:

Exercice 2

soit l'équation différentielle x³y'=y²
Montrer que la fonction nulle est une solution et expliquer pourquoi on ne peut pas appliquer Cauchy-Lipschitz.

Et là je ne sais absolument pas pourquoi on ne peut pas appliquer Cauchy-Lipschitz... : je précise que pour moi cette question peut aussi s'écrire "pourquoi ne peut on pas affirmer que les autres solutions ne s'annulent pas"(peut-être un problème d'interprétation de ma part...)
Dans la logique de l'exercice 1 j'aurais appliquer le théorème pour l'exercice 2 mais apparemment ce n'est pas possible.
Pourriez vous m'expliquer pourquoi?

merci d'avance
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[taladris]

Salut,

tout d'abord, on peut vérifier que est une solution non identiquement nulle de l'équation et donc on ne peut pas utiliser Cauchy-Lipschitz.

Essayons de comprendre pourquoi. Normalement, le théorème s'applique à une équation de la forme sur un intervalle (cf.
http://en.wikipedia.org/wiki/Picard%...C3%B6f_theorem ). La deuxième équation que tu propose peut se mettre sous la forme sur tout intervalle ne contenant pas 0.

On peut donc utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz sur tout intervalle ne contenant pas 0 et effectivement, sur de telles intervalles I, les solutions qui s'annulent en un point de I s'annulent sur tout I.

En pratique, on résoud l'équation sur et sur et on "recolle" les solutions en 0 pour obtenir une solution dérivable sur tout entier. Et c'est là qu'une solution peut s'annuler en 0 sans être identiquement nulle sur tout

Dans le cas présent, un calcul montre que les solutions non nulles sur sont de la forme , où est une constante réelle quelconque. Elles sont de la même forme sur (avec éventuellement une constante différente). Le seul moyen de recoller ces deux solutions est de poser .

Cordialement