Bonjour à tous.
Voilà mon problème :
J'ai une matrice carrée dont la somme de chaque colonne est 1.
Je crois la suite des puissances de cette matrice est convergente, mais je ne sais pas le démontrer.
Est-ce que l'un d'entre vous pourrait m'indiquer une démonstration ?
Merci beaucoup.
PS : Il n'agit pas d'un exercice mais de la mathématisation d'un problème très concret que je rencontre dans mon travail
Salut,
dans le cas général, on ne peut pas conclure
Ah bon
Est-ce que tu as un contre-exemple ?
(J'ai oublié de préciser que tous les coefficients de la matrice sont positifs ou nuls, je ne sais pas si ça intervient)
il suffit de prendre la matrice identité pour n pair, et la matrice avec la première ligne constituée que de 1 et le reste que de 0 pour n impaire : bref, on prend des matrices et on fait bouger les "1"...
Merci.
Mais je ne comprends pas : les deux exemples que tu me donnes sont des matrices telles que M²=M, donc la suite des puissances est constante, et donc convergente.
excuse moi, j'avais zappé le mot "puissance"
Héhé
Pas grave. (mais j'ai toujours besoin de ma démonstration)
Et bien le résultat est toujours faux, il suffit de prendre la matrice 2x2
(0 -- 1)
(1 -- 0)
il va falloir donner des hypothèses supplémentaires sur la matrice pour pouvoir conclure...
Bonjour,
"La somme des termes d'une colonne vaut 1" mais les termes peuvent-ils être négatifs ?
"Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde
@Thorin :
Exact ! Au temps pour moi.
Bon, est-ce que l'hypothèse supplémentaire d'avoir uniquement des termes strictement compris entre 0 et 1 peut permettre de conclure ?
@NicoEnac :
Non les termes ne sont jamais négatifs.
As-tu regardé du côté des chaînes de Markov? des matrices stochastiques?
Car les matrices dont tu parles sont exactement des matrices stochastiques:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_stochastique
Exactement ce qu'il me fallait !!!
Génial !
Merci.
