Bonsoir à tous,
Je suis actuellement en 3e année de licence d'économétrie à Paris-1 et je me permets de vous solliciter car ma classe et moi ne sommes pas d'accord sur le résultat d'un exercice :
Soit f la fonction telle que : f(x,y)=exp(x²/(x²+y²)) si (x,y) différent de (0,0)
f(x,y)=exp(1/2) si (x,y)=(0,0)
Il fallait étudier la continuité de cette fonction en (0,0), puis dire si la différentielle existe en (0,0).
Selon moi, si l'on considère le couple de suites (1/n, 2/n) qui tend vers (0,0) lorsque n tend vers + l'infini, on a :
f(1/n, 2/n)=exp((1²/n²)/((1²/n²)+(2²/n²))=exp(1/5) qui est différent de f(0,0)=exp(1/2).
Ainsi, la fonction ne serait pas continue en (0,0). On en déduit qu'elle n'est pas dérivable en (0,0), et donc que la différentielle totale n'existe pas en ce point.
Je ne crois pas avoir bien compris l'argument des autres, mais ils m'ont parlé de déterminer le gradient de cette fonction, et par je ne sais quels moyens, ils arrivent à démontrer que cette fonction est continue en (0,0).
D'autres revendiquent qu'en utilisant le couple de suite (1/n, 1/n) qui tend vers (0,0), on trouve f(1/n, 1/n) qui tend vers exp(1/2)=f(0,0).
Mais rassurez-moi : montrer que si une suite (Xn, Yn) tend vers (a,b) et que f(Xn, Yn) tend vers f(a,b) ne suffit pas pour démontrer que cette fonction est continue en (a,b), n'est-ce pas?
Aidez-nous à trancher svp!! Cette fonction est-elle oui ou non continue en (0,0)? ^^
Merci beaucoup!
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