Polynômes

[invite2ec0a62b]

Bonsoir tout le monde,
le chapitre des polynômes n'est pas mon point fort, c'est pour ça que je cherche de l'aide pour un exo concernant ce chapitre.
Etant donné un polynôme dont les racines sont réelles et simples, je voudrai montrer que pour tout réel x , pour en déduire ensuite que , Je n'ai pas encore réfléchi à la déduction, car je bloque déjà pour la première partie
Si quelqu'un a l'obligeance de me donner un petit coup de main, ce serait aimable de sa part...
Si on note les racines simples de P, alors P se met sous la forme Sinon, en dérivant et multipliant P et sa dérivée seconde, je trouve, sauf erreur de calcul,
Voilà ce que j'ai pu trouver.
Cordialement.
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[invite2ec0a62b]

J'ai pu résoudre la première partie de la question ne écrivant le polynôme sous sa forme scindée puis en dérivant, la deuxième ???
Cordialement.

[Seirios]

Bonjour,

Tu peux dire que , puis évaluer en 0.

[invite2ec0a62b]

Il faut d'abord montrer cette relation , je ne vois pas comment

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite332de63a]

Bonjour, tu l'as déjà fait, remplace P par son polynôme dérivé d'ordre k dans ta première relation.

[invite2ec0a62b]

mais la relation initiale n'est vraie que pour P, non ?

[invite2ec0a62b]

Si on utilise la formule de taylor , alors , donc , ; de la même manière , donc quelque soit , et de même, quelque soit ,
La relation précédente, en supposant qu'elle implique ( je n'ai pas encore vérifié que c'est juste), donne alors .
Ca ne veut toujours pas venir !

[invite14e03d2a]

Salut,

il y a peut-être une erreur dans ton raisonnement. Dire que toutes les racines sont simples ne veut pas dire que le polynôme est scindé. Par exemple, X²+1 a toutes ses racines réelles simples mais n'est pas scindé. Ou alors il faut tenir compte des racines complexes.

[inviteea028771]

il y a peut-être une erreur dans ton raisonnement. Dire que toutes les racines sont simples ne veut pas dire que le polynôme est scindé. Par exemple, X²+1 a toutes ses racines réelles simples mais n'est pas scindé. Ou alors il faut tenir compte des racines complexes.

Après tout dépend comment on comprend "les racines sont réelles et simples"

Si ça veut dire :
a) toutes les racines sont réelles et toutes les racines sont simples
b) toutes les racines qui sont réelles sont simples.

a implique que le polynôme est scindé, b non

Ca ne veut toujours pas venir !

Pourtant c'est fini

Si on a

Alors :
(car )

[invitea0db811c]

Il faut d'abord montrer cette relation , je ne vois pas comment

Bonsoir,

avec le théorème de Role pardi !

[invite14e03d2a]

Après tout dépend comment on comprend "les racines sont réelles et simples"

Si ça veut dire :
a) toutes les racines sont réelles et toutes les racines sont simples
b) toutes les racines qui sont réelles sont simples.

a implique que le polynôme est scindé, b non

Merci de la précision. C'était implicitement contenu dans mon "peut-être" et dans le "ou alors...".

[Seirios]

Le polynôme doit bien être scindé : sinon, X²+X+1 serait un contre-exemple.

Il me semble qu'il y a un petit problème concernant la première inégalité : En notant , on a , or d'où . Donc l'inégalité dépend du signe de , non ?

[invitea0db811c]

le lambda se simplifie vu qu'il apparaît aussi dans P' ^^

[Seirios]

Effectivement, je n'ai pas tenu du coefficient dans le P'...Cela dit, on peut remarquer que l'on ne se sert pas de la simplicité des racines pour établir cette inégalité.

[invite2ec0a62b]

Je vous remercie pour vos contributions

[Seirios]

En passant, il me semble que le résultat est toujours correcte si l'on suppose que P est scindé et que ses racines sont de multiplicité impaire.