Polynôme et polygone.

[invite2ec0a62b]

Bonsoir tout le monde,
soient une famille de complexes qui vérifie pour tout polynôme P dans :. On considère aussi le polynôme
On nous demande d'abord de calculer pour ensuite déduire que
Je trouve pour le calcul , sinon pour la déduction, je tombe sur un calcul interminable faisant intervenir somme de produit ( a cause de Q' ).
Si quelqu'un a une meilleur solution, je le prie de la communiquer.
Puis après, on nous demande de montrer que les sont en fait les sommets d'un polygone régulier, cad, un polygone dont tous les cotés sont égaux et forment des angles égaux entre eux.
Alors là, c'est le comble...
Merci de m'aider à résoudre ce petit exo en me donnant des indices .
Cordialement.
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[invite2ec0a62b]

pour la déduction, on peut utiliser la formule de Taylor pour les polynômes : , on peut aussi l'utiliser pour Q' : . En substituant dans l'expression de Q, il vient
Je ne sais pas comment utiliser le calcul précédent!

[invite160edab3]

En fait il faut mieux exprimer Q(z0)/(z0-zk) que ce que tu as fait : utilise pour cela l'hypothese de départ pour les polynomes de degré n-1 et la famille (zi) sur un polynome bien choisi (il saute aux yeux en fait).
Une fois que tu auras fait ça, pose R(X)= produit(X-zi)*(x-z0)/n + Q(z0).
L'idée est alors de montrer que Q=R en se souvenant du théorème de D'alembert, pour cela ils te suffit de montrer que R et Q coincident sur n+1 points biens choisis vu que R et Q sont de degré n.
Cela devrait t'aider, dsl mais je ne sais pas (encore) me servir de latex.

[invite2ec0a62b]

vous parlez du polynôme dérivée , n'est ce pas ?
Pour un k fixé de , je trouve

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2ec0a62b]

Je pense avoir fait une erreur...

[invite2ec0a62b]

Un deuxième calcul me donne

[invite2ec0a62b]

Le R dont vous parlez, est ce que c'est ??
Si les points particuliers où R coinciderait avec Q sont les racines de Q, cad les z, Q ne coincide avec R que sur n points, et non n+1 points ...

[Seirios]

Tu peux essayer d'évaluer le polynôme du membre de droite en .

[invite2ec0a62b]

de quel polynôme parlez vous ?

[invite2ec0a62b]

Je prie quelqu'un de me dire si le calcul est bon, ou si je dois encore le développer.
TooBad, je vous prie de me répondre est ce que le polynôme R est bien celui que j'ai posté précédemment.
Cordialement.

[Seirios]

de quel polynôme parlez vous ?

Je parlais de l'égalité .

[invite160edab3]

Oui c'est bien ce polynôme et tu dois levaluer sur tous les zi ; ce qui fait n+1 points au total. Relis attentivement mon post et tu réussiras.

[invite2ec0a62b]

C'est pris en compte. Merci.

[invite2ec0a62b]

TooBad, est ce que vous êtes sûr que le R que j'ai écrit plus haut est bien celui que vous avez mentionnez? Parce qu'en fait, le R que j'ai écrit donne pour tous les la même image

[invite2ec0a62b]

Si on arrive à montrer que le polynôme différence admet racines, alors c'est bon.