Application linéaire

[karma34]

Il nous est donné une application linéaire ƒ de R3 dans R3 telle que
ƒ(x,y,z)=(5x+2y+6z,-2x-2z,-4x-2y-5z) et C une famille de R3 telle que C=(f1,f2,f3) où
f1=(1,0,-1); f₂=(2,1,-2) et f3=(1,-2,0)

Donc pour évaluer ƒ sur C je n'ai pas eu de soucis, ni pour dire si elle est symétrique, les soucis arrivent quand il faut montrer que U=Vect(f1,f3) et V=Vect(f2,f3) sont des sous espaces stables de ƒ, je ne sais pas comment m'y prendre, et je suis donc ensuite perdu pour donner les endomorphismes u de U et v de V, par restriction de ƒ.
Après il nous faut montrer que u est une symétrie et que v est idempotent..

Je suis à nouveau perdu lorsqu'il faut donner la matrice de passage P pour aller de la base canonique B à C.

Si quelqu'un peut m'aider, je l'en remercierai beaucoup !

cordialement,
karma34
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[NicoEnac]

Bonjour,

Que signifie qu'un espace est stable par une application ? Simplement, que tout élément de cet espace a son image dans le même espace.
Exemple : si on considère l'application qui dans le plan R² est une rotation d'angle a, alors tout cercle a pour image lui-même. Il est donc stable par cette application.

Donc, dans ton exercice U = vect(f1,f3) est un plan car f1 et f3 ne sont pas colinéaires (sinon U serait une droite). Quelle est l'équation de ce plan ?
Une fois l'équation du plan trouvée, considère un vecteur M(x,y,z) y appartenant, calcule son image par f et vérifie qu'elle appartient à ce même plan.

Idem pour V.

Il y a sûrement d'autres méthodes certainement plus astucieuses mais celle-ci fonctionne bien

[karma34]

merci pour tes réponses!

j'ai une question :

ƒ(x,y,z)=(5x+2y+6z,-2x-2z,-4x-2y-5z)

pour le transformer en matrice :

on met (5 2 6 ) OU (5 -2 -4)
______(-2 0 2) __________(2 0 -2)
______(-4 -2 -5) _________(6 -2 -5)


en gros je les mets de manière verticale ou horizontale?

notre prof dit de manière verticale mais sur un forum ils le mettent de manière horizontale je comprends pas trop.. merci

[inviteb6caabbc]

Il faut qu'en multipliant ta matrice A par la matrice colonne
x
y
z
tu obtiennes la matrice suivante:

5x+2y+6z
-2x-2z
-4x-2y-5z

Ta matrice A sera donc:

5 2 6
-2 0 2
-4 -2 -5

Je te conseille de manipuler beaucoup de matrices et de résoudre des exercices. Essaye de t’entraîner sur des exercices comme celui ci ==> http://www.licencedemathematiques.co...iveau-l1-1451/

Bon courage

[A voir en vidéo sur Futura]