Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

[PlaneteF]

Bonjour,

Pour Mediat, il existe une theorie de la demonstration qui est à elle seule une branche des metamathematiques donc je n'ai pas pour intention de developper un dossier complet mais d'en extraire l'essentiel

Comment veux-tu nous parler de théorie de la démonstration alors que tu ne sais même pas ce qu'est la règle de déduction dite "axiome" que j'ai évoquée à maintes reprises et qui te semblait tellement ésotérique. C'est un peu comme si quelqu'un voulait nous parler de la théorie de Galois tout en ne sachant pas ce qu'est un élément neutre

Cordialement
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[Médiat]

Je viens de parcourir le message précédent de pazuzen, je ne vais toujours pas en faire la critique exhaustive, mais :

Car c'est une des pir's perversions qui soient
Que de garder un éclat de rire par-devers soi

(connaissez vous d'ailleurs des theories operationnelles qui contiendraient une infinité d'axiomes ?)

pazuzen ne semble pas bien connaître l'arithmétique de Peano (du premier ordre), dont il parle tant et avec tant d'assurance

[Schrodies-cat]

Pour préciser les choses, on peut voir le principe de récurrence comme un axiome du second ordre , mais, si on se limite à des axiomes du premier ordre, il faut le voir comme une façon d'engendrer une infinité (récursive) d'axiomes.

[Médiat]

Et pour préciser la précision (qui est correcte), il ne s'agit pas d'une simple différence de point de vue, mais d'une différence de logique, en ayant en tête que la logique du second ordre n'est pas complète contrairement à la logique du premier ordre (comme l'a démontré Gödel)

[Schrodies-cat]

On pourrait aussi citer le schéma d'axiomes de séparation dans ZF .

[Schrodies-cat]

Sans oublier le schéma d'axiomes de substitution dans les théories égalitaires.

[Médiat]

Sans oublier le schéma d'axiomes de substitution dans les théories égalitaires.

C'est à dire une très grosse majorité des théories utilisées

[stefjm]

Il faut dire qu'on trouve n'importe quoi sur le net :
[...]
je vous laisse deviner où j'ai trouvé cela

Bonjour,
Vous, je ne sais pas; Je l'ai trouvé là : http://www.liafa.univ-paris-diderot....odel_final.pdf
Page 1, paragraphe 2
Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

C'est à dire le document cité par pazuzen comme référence, et donc qu'il faut éviter comme la peste

[stefjm]

Mince, je crois que j'ai appelé la fonction f définie par
int f(void){
return f();
}
Pour ma défense, on m'a dit de ne pas croire ce qu'on lit sur les forums et de vérifier la source des documents : http://www.liafa.univ-paris-diderot....erbe/CV_fr.pdf

[Médiat]

stefjm, je suis désolé, mais je ne comprends pas le sens de votre dernier message ...
L'auteur de ce document est un informaticien (sans doute de très haut niveau), mais pas un logicien ...

[pazuzen]

Justement mediat, en tant que logicien, vous avez abordé dans ce topic un exemple d'utilisation extrêmement précis puisqu'il s'agissait "de nous aider à faire des achats sur internet" par la compréhension des theoremes d'incompletude

Et nos échanges sont partis de mon décalage évident avec votre présentation concrète qui n'illustre selon moi pas plus le premier theoreme que le second

J'ai noté votre décalage avec des sources universitaires, celles de notre site, celle d'Alain Connes, celle de la formulation sémantique anglaise de ce theoreme et donc avec la mienne qui au demeurant, est plutôt academique

J'ai un peu fait le tour des differents arguments que j'ai avancé de manière générale de mon côté et je pense que vous serez d'accord pour acter notre profond désaccord, ce qui n'est pas un problème ni un crime

En revanche, j'ai réellement essayé, visiblement sans y parvenir, de répondre aux differentes remarques et objections qui m'ont été assez collegialement faites (grosse surprise pour moi sur ce type de forum, dont acte)

Pourriez-vous à votre tour et sommairement répondre à mes 4 interrogations suivantes :

1- les theoremes d'incompletude ont ils eu des conséquences importantes dans la démarche entreprises par Hilbert, dans l'histoire de la logique mathematique du 20 eme siècle ? pourquoi ?
2- comment pourriez vous expliquer à un débutant qui n'aurait pas votre niveau la signification du premier théorème d'incompletude ?
3- même question que (2) pour le second theoreme
4- quel lien internet vulgarisant ces theoremes pour un mathematicien novice recommandez vous sur internet pour en comprendre leur portée ?

Merci pour votre patience si j'ai compris que ma compréhension vous semblait farfelue, j'aimerais juste comprendre la votre

[stefjm]

stefjm, je suis désolé, mais je ne comprends pas le sens de votre dernier message ...
L'auteur de ce document est un informaticien (sans doute de très haut niveau), mais pas un logicien ...

Je sais juste qu'il y a un lien et en tant que candide (celui qui se ferait avoir par la page calcul sans peine que vous n'aimez pas), je ne suis pas capable de faire la différence entre un logicien et un informaticien.

[Médiat]

J'ai noté votre décalage avec des sources universitaires, celles de notre site, celle d'Alain Connes, celle de la formulation sémantique anglaise de ce theoreme

1) Je ne suis pas en désaccord avec toutes les sources universitaires, en mettre une en exergue ne prouve rien.
2) Je me suis expliqué sur le texte de "notre site" dont je ne suis pas responsable
3) Je suis en désaccord philosophique avec Connes et je lui reproche de nous imposer sa philosophie (donc rien de mathématique)
4) Après avoir spécifé qu'il s'agissait de logique du premier ordre :

Any effectively generated formal system capable of expressing elementary arithmetic cannot be both consistent and complete.

Je suis en parfait accord avec cela puisque c'est à très peu de choses près ma formulation : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5543141

In particular, for any consistent, effectively generated formal theory that proves certain basic arithmetic truths, there is an arithmetical statement that is true [2], but not provable in the system.

[2]However, the arithmetic statement in question is false in some nonstandard models of arithmetic.

Ce point prouve complètement le bien fondé de mon combat contre ce vocabulaire qui consiste à déclarer "Vrai" ce qui peut être "Faux", cf. Camus sur le fait de mal nommer les choses.

1- les theoremes d'incompletude ont ils eu des conséquences importantes dans la démarche entreprises par Hilbert, dans l'histoire de la logique mathematique du 20 eme siècle ? pourquoi ?
2- comment pourriez vous expliquer à un débutant qui n'aurait pas votre niveau la signification du premier théorème d'incompletude ?
3- même question que (2) pour le second theoreme
4- quel lien internet vulgarisant ces theoremes pour un mathematicien novice recommandez vous sur internet pour en comprendre leur portée ?

1) Oui, puisque ce théorème établit que l'on ne pourra jamais faire la "Liste" (1) des théorèmes vrais dans IN (en écrivant cela je respecte mon vocabulaire dans une expression que vous traitiez de "Fausse")
2) C'est tout le but de ce fil :

on a bien reçu ce que l'on a demandé, mais pas ce que l'on voulait.

ce que l'on a demandé = ce que l'on peut dire ; ce que l'on voulait = les vérités d'un modèle précis.
ou

inadéquation entre la demande et le désir

3) Je ne vois aucune raison d'expliquer ce théorème qui ne comporte aucun piège subtil, il suffit d'en lire le texte.
4) Aucun en particulier, il faut en lire 20 en refaisant soi-même les démonstrations.

(1) On peut être gêné par cet aveu, mais il y a d'autres raisons de gêne, y compris pour des théories très simples, y compris pour des théories complètes.

[Médiat]

(celui qui se ferait avoir par la page calcul sans peine que vous n'aimez pas)

A juste raison donc

[pazuzen]

Mediat a créè ce topic, ce dont je vous remercie, sur lequel je basculerais mes réflexions et ma participation concernant Godel

http://forums.futura-sciences.com/ma...de-goedel.html

Néanmoins dernière question pour médiat ici
J'ai bien noté que vous excluiez énormément de sources concernant les exposés au sujet des theoremes d'incompletude

Pourriez vous linker un lien vers une source referente que vous validez comme référente ou simplement recevable et qui exposerait de manière détaillée et à l'attention de l'étudiant ou du grand public ces theoremes ?
Je parle d'exposés complets et non d'extraits

Merci encore d'avoir ouvert cet autre fil en redpectant mon travail de rédaction sur lequel je connais votre décalage

Amicalement,

[Médiat]

Quel est le mot que vous n'avez pas compris dans ma réponse précédente ?

Néanmoins, je suis tombé, presque par hasard sur le document http://www.pps.univ-paris-diderot.fr...es/ens_prv.pdf dont j'extrais (c'est moi qui met en gras)

Un autre exemple, tout à fait trivial, estque, si la formule A fait partie d’un système d’axiomes, alors on peut déduire A de cesystème d’axiomes.

Krivine étant un des plus grands logiciens (et pas platonicien, à ma connaissance)

[stefjm]

Mediat a créè ce topic, ce dont je vous remercie, sur lequel je basculerais mes réflexions et ma participation concernant Godel
http://forums.futura-sciences.com/#/...?forcenoajax=1

Le lien correct : http://forums.futura-sciences.com/ma...de-goedel.html

[Médiat]

Bonjour et merci stefjm,

J'ai corrigé le lien dans le message d'origine

[azizovsky]

J'étais entrain de lire un doc sur le lien entre arithmétique et la logique..., j'ai tombé sur cette phrase :

D’apres Peter Sarnak : “Si Gauss vivait de nos jours, il serait pirate informatique”

[pazuzen]

C'est clair que si Godel était vivant, il ne pourrait qu'être pirate ici et se gausser.

[Tryss2]

Quand on commence à faire parler les morts...

[pazuzen]

Quand krivine écrit noir sur blanc qu'on pose les axiomes, que comprenez vous de son énoncé ?

[Médiat]

Qui a nié que l'on choisissait les axiomes d'une théorie (même un platonicien extrémiste n'oserait pas ) ? On choisit même les axiomes des logiques !

[karlp]

Quand krivine écrit noir sur blanc qu'on pose les axiomes, que comprenez vous de son énoncé ?

Je comprends qu'on pose les axiomes sans démonstration préalable parce qu'il est absurde de penser qu'on puisse démontrer à partir de rien; mais qu'une fois que l'axiomatique a été choisie, alors les énoncés qui constituent les axiomes sont désormais démontrables à partir de celle ci.

[ansset]

bonjour Karlp,
il est vrai qu'en prenant la contraposée de cette assertion, on voit vite qu'elle est intenable...

[pazuzen]

Comment delimiteriez vous la difference entre une déduction et une démonstration ?

[Médiat]

Quand on fait des mathématiques : aucune !

[minushabens]

Que l'autoreferentialité mène à l'indecidabilité ne signifie pas que l'indecidabilité n'est provoquée que par l'autoréférentialité...

je retiens cette phrase des nombreuses interventions de pazuzen. Ce que j'ai compris c'est que l'autoréférence était inévitable dans les systèmes qui relèvent du théorème de Gödel.

Mais ça me suggère cette question: est-ce qu'il existe une démonstration du théorème de Gödel qui ne soit pas basée sur la notion d'autoréférence?

[Médiat]

Bonjour minushabens

Pas que je sache, la démonstration de Gödel utilisant un argument diagonal, de plus il est nécessaire de fabriquer une méthode de fabrication des énoncés (et non un simple énoncé), puisqu'une fois que l'on a trouvé un indécidable, si on le rajoute il faut montrer que l'on peut encore montrer qu'il existe des indécidables dans cette nouvelle théorie.