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Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?



  1. #241
    Schrodies-cat

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?


    ------

    Citation Envoyé par pazuzen Voir le message
    Comment delimiteriez vous la difference entre une déduction et une démonstration ?
    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Quand on fait des mathématiques : aucune !
    Un énoncée se déduit d'un certains nombre d'énoncés.
    Dans une démonstration, on déduit un énoncé des axiomes.

    Enfin, c'est ainsi que je vois ces notions.

    -----
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .

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  3. #242
    Médiat

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    En mathématiques on applique des règles, voir par exemple, la présentation en séquents : https://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_des_s%C3%A9quents.

    Je vous conseille en particulier le "groupe identité".

    On peut toujours mettre des mots dessus, mais seule l'application de ces règles peut vous procurez l'ivresse qui permet de ne plus sentir l'horrible fardeau du temps qui brise vos épaules et vous penche vers la terre.
    Dernière modification par Médiat ; 02/04/2016 à 21h33.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #243
    PlaneteF

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    Bonsoir,

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    En mathématiques on applique des règles, voir par exemple, la présentation en séquents : https://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_des_s%C3%A9quents.

    Je vous conseille en particulier le "groupe identité".
    --> Et oui, et avec en premier lieu la règle de déduction "axiome", comme un clin d'oeil à pazuzen

    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 02/04/2016 à 23h35.

  5. #244
    Schrodies-cat

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    (...)
    On peut toujours mettre des mots dessus, mais seule l'application de ces règles peut vous procurez l'ivresse qui permet de ne plus sentir l'horrible fardeau du temps qui brise vos épaules et vous penche vers la terre.
    Le temps peut-il être véritablement aboli ?
    En mathématique, on peut utiliser pour démontrer un théorème un autre théorème qui a été démontré dans le passé, mais pas un théorème qui sera démontré dans le futur .
    Tout au plus peut-on travailler sous l'hypothèse d'une conjecture.

    La logique mathématique parle des mathématiques (je sais ce n'est pas un énoncé très formalisable).
    Elle peut ou non prendre en compte le temps ( au sens que j'ai précisé ci-dessus), selon les besoins .
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .

  6. #245
    Médiat

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    Citation Envoyé par Schrodies-cat Voir le message
    En mathématique, on peut utiliser pour démontrer un théorème un autre théorème qui a été démontré dans le passé, mais pas un théorème qui sera démontré dans le futur .
    Tout au plus peut-on travailler sous l'hypothèse d'une conjecture.
    Ce qui revient bien à utiliser un théorème qui sera démontré dans le futur (ou non, futur hypothétique)

    Comme je l'ai déjà écrit ici plusieurs fois, quand un mathématicien démontre , il ne dit rien de , rien de , il ne parle que de
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  7. #246
    leon1789

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    quand un mathématicien démontre , il ne dit rien de , rien de , il ne parle que de
    Quand vous dîtes, "il ne dit rien de A, rien de B", je suppose que vous voulez parler des valeurs de vérité des assertions A et B.
    Pour démontrer une implication, il faut bien évoquer les deux assertions dans la relation d'implication, donc pour prouver A => B, il faut parler de A, de B, et montrer le lien de A vers B.

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  9. #247
    Médiat

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    Quand vous dîtes, "il ne dit rien de A, rien de B", je suppose que vous voulez parler des valeurs de vérité des assertions A et B.
    Pour démontrer une implication, il faut bien évoquer les deux assertions dans la relation d'implication, donc pour prouver A => B, il faut parler de A, de B, et montrer le lien de A vers B.
    Oui, bien sûr, la démonstration utilise A et B, mais ne permet pas de statuer sur A, et sur B, c'est (A, A => B) qui permet de parler de B (pas (A => B) seul). Et si A est un axiome (ou un théorème déjà démontré) d'une théorie T, alors on peut dire que T démontre B (que B est "vrai" dans la théorie T, pour utiliser le vocabulaire dont je me méfie).
    Dernière modification par Médiat ; 03/04/2016 à 11h04.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  10. #248
    Schrodies-cat

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    Il y a la question de la notion de démonstration pour le mathématicien et pour le mathématicien logicien.
    Quand le mathématicien dit qu'il a démontré B, c'est habituellement qu'il a déduit B de A1,, A2, ... , An où A1,, A2, ... , An sont des axiomes de la théorie (souvent implicite), dans laquelle il travaille , ceci dans la cadre de la logique classique.
    Notes :
    pour une déduction particulière, on utilise un nombre fini d'axiomes même si la théorie peut être munie d'une infinité d'axiomes.

    On peut néanmoins se poser la question de la théorie dans laquelle on peut démontrer un théorème:
    Exemple: l'énoncé du théorème de Fermat-Wiles s'écrit dans le langage de l'arithmétique de péano, est-il démontré/démontrable dans cette théorie.
    Wiles, et ceux qui ont démontré auparavant les théorèmes qu'il a utilisés ne se sont bien entendu paslimités strictement à ce formalisme, mais je ne pense pas (oui c'est une opinion !)qu'il y aurait de difficultés majeures à adapter leurs démonstrations à ce formalisme .

    On peut même obtenir des théorèmes sans utiliser un seul axiome de ladite théorie qui sont alors appelés tautologies.

    Ceci étant précisé , y a-t-il des différences entre une démonstration de mathématicien, et démonstration au sens de la logique mathématique ?
    Un mathématicien ne fera pour ainsi dire jamais une démonstration formelle au sens strict.
    À mon mon sens, on considèrera que le résultat est démontré si on est convaincu qu'on pourrait tirer de sa démonstration une démonstration formelle sans difficulté majeure, même si ce serait généralement laborieux.

    Qu'est ce qu'une démonstration formelle (restons dans le cadre de la logique classique du 1er ordre)?
    Divers systèmes ont été proposés dans le passé, certains étaient peu rigoureux, d'autres inconsistants ou pas assez complet pour rendre compte d'inférences pratiquées couramment par les mathématiciens et considérées comme légitimes ...
    Il y a maintenant des systèmes de déductions considérés comme satisfaisants, Médiat à donné un lien sur l'un d'eux un peu plus haut.
    Des systèmes de déduction (ou d'inférences) définis différemment peuvent donner des définitions de la déductibilité équivalents (à vérifier au cas par cas).

    Enfin, il faut noter que quand il démontre A=>B , un mathématicien peut utiliser un théorème C déja démontré (dans la théorie dont il est question).
    Pour faire une démonstration formelle de A=>B uniquement à partir des axiomes de ladite théorie, il faudrait faire non seulement une formalisation de la démonstration du dit mathématicien, mais y intégrer une formalisation d'une démonstration de C, ce qui risque de donner des démonstrations formelles conséquentes pour les théories ayant une longue histoire.
    On doit donc en fait considérer un corpus de théorème déjà démontrés qui s'accroit au fil du temps (en espérant qu'il n'y a pas de bourdes dans les démonstrations).
    Les théorèmes démontrables ainsi devant bien entendu être les mêmes.

    Cela est bien entendu à prendre en compte dans le programme actuel de développement des outils de vérification de preuve.
    J'avais tenté sans succès de lancer à se propos un sujet ici.
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .

  11. #249
    Médiat

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    Citation Envoyé par Schrodies-cat Voir le message
    On peut même obtenir des théorèmes sans utiliser un seul axiome de ladite théorie qui sont alors appelés tautologies.
    Que voulez-vous dire exactement ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #250
    Schrodies-cat

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    Il faut effectivement utiliser au moins un symbole de relation du langage pour former un énoncé, mais pas forcément d'axiome pour le démontrer un tautologie exemple dans l'arithmétique de péano, je sais démontrer que "(pour tout x)(x=x = > x=x)" , je n'ai besoin d'aucun axiome de l'arithmétique, simplement de ceux de la logique.
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .

  13. #251
    Médiat

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    Oui mais ce n'est pas lié à Peano, c'est juste une des propriétés de l'égalité, il n'y a aucune raison de nommer une théorie (ce n'est pas faux, mais cela peut engendrer des confusions), toutes les tautologies de la logique s'appliquent à tous les énoncés de toutes les théories.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  14. #252
    Schrodies-cat

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    Ce n'est même pas une propriété de l'égalité ! on obtient la même chose en remplaçant = par n'importe-quel symbole de relation !
    C'est néanmoins un théorème (sans grand intérêt) de l'arithmétique de Peano.

    D'autre tautologies peuvent être plus intéressantes:

    Je considère une théorie (disons du premier ordre ...) Définie par les axiomes A1, A2, A3, etc .
    Dire que B est un théorème de cette théorie revient à dire que pour un certain n,(( A1 et A2 et ... et An) => B) est une tautologie ! ( voir les liens entre implication, déduction et démonstration) .
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .

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  16. #253
    pazuzen

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    **** Inutile ****
    Dites moi, est ce que nous sommes ok pour dire que la conjecture de Fermat est une assertion qui s'exprime dans l'arithmétique de peano ?
    Si non, les bras des mathematiciens tomberont tous....
    A t'elle été demontrée sous Peano ou en utilisant ZFC ?
    Dernière modification par Médiat ; 03/04/2016 à 17h09.

  17. #254
    Médiat

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    Citation Envoyé par pazuzen Voir le message
    Dites moi, est ce que nous sommes ok pour dire que la conjecture de Fermat est une assertion qui s'exprime dans l'arithmétique de peano ?
    Oui et même dans le système Q

    Citation Envoyé par pazuzen Voir le message
    A t'elle été demontrée sous Peano ou en utilisant ZFC ?
    Personnellement, je ne sais pas, mais où voulez-vous en venir ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  18. #255
    Tryss2

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    On sors largement de Peano pour démontrer la conjecture de Fermat

  19. #256
    Schrodies-cat

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    La démonstration utilise des notions relatives aux formes modulaires etc.
    De l'analyse complexe pas du tout élémentaire donc.

    Il y des techniques pour traduire en arithmétiques certaines assertions d'analyse réelle et complexe, par exemple on peut utiliser les réels calculables etc ...
    Seraient-elles suffisante pour traduire la démonstration du théorème de Fermat-Wiles et donc aussi celles des théorème qu'il utilise ?
    Il est certain que si c'est possible, il y aurait du boulot. Sans doute serait-il nécessaire de se faire assiter par l'ordinateur.
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .

  20. #257
    pazuzen

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    Fermat est donc une assertion vraie dans peano, nous sommes toujours ok ?

  21. #258
    pazuzen

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    On ne peut pas avoir x^n=a^n+b^n pour tout n>2
    Tout le monde est ok ?

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  23. #259
    Schrodies-cat

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    Vous allez encore énerver Médiat et je le comprends.
    Citation Envoyé par pazuzen Voir le message
    Fermat est donc une assertion vraie dans peano, nous sommes toujours ok ?
    "Fermat" a été démontré dans ZF, je pense qu'on peut dire cela de façon aussi certaine qu'il est possible.
    Fermat est vrai dans le modèle standard de l'arithmétique, je pense ne pas trop m'avancer.
    " vrai dans Peano" je ne vois pas trop (cela s'appelle une litote) ce que cela veut dire .
    Dernière modification par Schrodies-cat ; 03/04/2016 à 19h12.
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .

  24. #260
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    Heu ... la preuve d'Andrew Wiles utilise d'autres axiomes que ceux de Peano (peu utilisés maintenant, la construction des entiers par les ordinaux redonnant ces axiomes comme des théorèmes).
    Rien ne t'empêche, Pazuzen, d'aller lire cette preuve pour savoir

  25. #261
    Médiat

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    Citation Envoyé par Schrodies-cat Voir le message
    Vous allez encore énerver Médiat et je le comprends.
    Merci d'avoir pris le relais, parce que sincèrement, je ne sais plus quoi faire pour faire comprendre quelque chose à pazuzen
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  26. #262
    Schrodies-cat

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    Pour tout vous dire, sa façon de saturer le débat m'énerve également.
    Je crains que ma méthode pédagogique ne s'avère guère plus efficace.
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .

  27. #263
    pazuzen

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    Que voulez vous me faire comprendre ?
    Fermat est une assertion vraie (prenez un ordinateur et trouvez un seul n qui le démentirait), qui s'exprime dans peano sans que Peano ne puisse le demontrer ou le refuter
    On appelle cela un indecidable
    Sauf que cette assertion est vraie, vérifiable pour tous les n que vous testerez et uniquement demontrable pzr Zfc
    Vous pouvez faire mine de ne pas le comprendre, ce fait est un fait
    Hors nième censure, comment affirmez vous l'inverse ?

  28. #264
    pazuzen

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    Vous en voulez d'autres ?
    Theoreme de Ramsey, theoreme de goodstein..
    Les exemples d'enoncés vrais indecidable vous en voulez dans d'autres theories ?
    Suffit de demander

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  30. #265
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    Fermat est une assertion vraie (prenez un ordinateur et trouvez un seul n qui le démentirait)
    Raisonnement absurde, contre-factuel. Incompréhension totale des mathématiques et aussi de ce que peut faire un ordinateur. Peut-être même incompréhension de l'infinitude des nombres entiers.

    Quand on en est à ce niveau de raisonnement, on commence par apprendre les bases ....

    Quant à dire que l'axiomatique de Peano ne peut pas le prouver, c'est parler sans savoir, sauf si on a une preuve de ce qu'on dit :
    Fermat est une assertion vraie (prenez un ordinateur et trouvez un seul n qui le démentirait), qui s'exprime dans peano sans que Peano ne puisse le demontrer ou le refuter
    Pazuzen, tu n'as pas de preuve, tu racontes ce qui t'arrange, tu veux te faire mousser ici, et tout le monde voit que tu n'est rien ...

    Même pas capable de mettre la majuscule à Peano !!!
    Dernière modification par gg0 ; 03/04/2016 à 21h13.

  31. #266
    Schrodies-cat

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    Citation Envoyé par pazuzen Voir le message
    Que voulez vous me faire comprendre ?
    Fermat est une assertion vraie (prenez un ordinateur et trouvez un seul n qui le démentirait), (...)
    Après un nombre considérable de messages ou vous avez utilisé le mot "vrai", vous commencez à expliquer ce que vous entendez par ce mot.
    L'idée n'est pas forcément inintéressante, mais elle a ses limites, comme le montre l'exemple suivant:
    https://en.wikipedia.org/wiki/Skewes'_number
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .

  32. #267
    pazuzen

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    A ma décharge mes explications les plus argumentées sont supprimées ce qui rend difficile de vous signifier ce qu'est, "pour moi" une assertion vraie

    Enfin du fonds et enfin des sources...
    J'ai lu attentivement l'article, quelles limites y voyez vous ?

    Pour ma part, il faut distinguer inférence, implication, déduction et demonstration car ces notions proches ne renvoient pas les mêmes delimitations
    De la même manière, il faut distinguer assertion vraie de theoreme de preuve
    Là encore il y a des differences

    Pour vous répondre, "ma definition "d'assertion vraie" est un énoncé qui s'exprime dans le langage de la theorie, dans sa typographie et dont la question de savoir si elle est vraie renvoie à une réponse unique la conjecture de
    Fermat est VRAI
    Sous Peano, x^n=a^n+b^n s'exprime dans la theorie et jamais cette égalité ne sera verifiée pour n>2

    Le prouver est resté longtemps impossible
    Nous pouvions alors penser qu'elle pouvait être une assertion fausse
    Et le fait est que la demonstration a necessité de faire appel à une autre axiomatique et une autre theorie qu'est ZFC
    Pour tous les mathematiciens, fermat a été demontré et la preuve de la demonstration a été faite
    Dans Peano, cette assertion est VRAIE, elle n'est cependant pas prouvable à l'intérieur même de Peano mais par ZFC
    Si nous n'avions pas ZFC, cette assertion pourtant vraie (d'ailleurs personne ne peut évidemment demontrer qu'elle est fausse...) serait restée une assertion indecidable
    Sauf que par le calcul, nous voyons qu'elle est systématiquement VRAIE et que par la demonstration dans ZFC qui emule Peano, on sait que c'est aussi demontré donc prouvé

  33. #268
    Médiat

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    Citation Envoyé par pazuzen Voir le message
    Pour vous répondre, "ma definition "d'assertion vraie" est un énoncé qui s'exprime dans le langage de la theorie, dans sa typographie et dont la question de savoir si elle est vraie renvoie à une réponse unique
    Je vous propose une autre définition, plus courte et plus simple : Une assertion vraie est une assertion qui est vraie !

    Ah ben non, j'ai encore été optimiste, avec votre définition, dans Peano, l'assertion 1=2 est vraie, puisque " la question de savoir si elle est vraie renvoie à une réponse unique"
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  34. #269
    pazuzen

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    Cela renvoie d'ailleurs a un autre énoncé lu dans ce fil que "je" considere FAUX

    A ete ecrit que le premier theoreme d'incompletude signifiait que nous ne pourrions jamais connaitre tous les theoremes d'une theorie

    Ce n'est pas ce que dit Godel

    Godel affirme que des assertions mathematiques sont des indecidables
    Un indecidable, c'est justement une assertion qu'on ne peut démontrer vraie ou fausse (théorème)
    Pourtant cet indecidable est soit vrai soit faux...
    Ce que dit Godel, c'est que des assertions mathematiques de la theorie T échapperont toujours aux demonstrations dans T donc aux theoremes de T bien que ces assertions soient VRAIES ou FAUSSES

  35. #270
    pazuzen

    Re : Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

    D'après votre theorie ou A->A signifie "A prouve A"
    Je pose A- vous énoncez dans ce systeme formel contre vérité sur contre Vérité
    Donc A est prouvé....

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