Bien sûr, sauf que vous n'avez pas cité dans quel langage et dans quelle théorie, vous considérez cet axiome et vous n'avez pas démontré la consistance de cet axiome avec les autres de cette théorie, j'attends impatiemment vos explications sur ces points ...
N'oubliez pas l'axiome "pazuzen ignore tout de la théorie de la démonstration" !
Dernière modification par Médiat ; 04/04/2016 à 08h21.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Ou est la preuve de cette affirmation? Ce résultat me semble extrêmement intéressant si il s'avérait être prouvé, mais je n'en ai jamais entendu parlé avant ce moment.Envoyé par pazuzen
Bonjour,
Tryss2, j'ai besoin de vous : avez-vous réussi à donner un sens mathématique à "Dans Peano, cette assertion est VRAIE, elle n'est cependant pas prouvable à l'intérieur même de Peano ", parce que, pour moi (entre autres) "vraie dans une théorie" mais "pas prouvable dans cette théorie" sonne comme un oxymore.
Dire "vrai", tout court, peut se comprendre (...) dans certaines circonstances que j'ai déjà explicitées, mais en précisant "vrai dans la théorie", je ne vois aucun sens possible.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'avoue que j'ai du mal à comprendre moi aussi.
"vrai dans Peano" peut vouloir dire "vrai dans tout les modèles de Peano", mais si c'est le cas, alors c'est prouvable dans Peano (théorème de complétude de Gödel)
Il me semble percevoir ce qui trouble pazuzen : le théorème de Fermat s'énonce en termes purement arithmétiques mais l'unique preuve connue aujourd'hui fait appel à des outils hors du champ de l'arithmétique (cohomologie par exemple). Une question intéressante est de savoir si c'est nécessaire ou pas. Cette question ne relève pas de la logique mais plutôt de l'épistémologie.
Si on fait un parallèle avec le "théorème fondamental de l'algèbre" (dit aussi de d'Alembert-Gauss) on a un peu le même phénomène en apparence: un théorème qui s'énonce en termes algébriques mais requiert des concepts topologiques pour être démontré. On pourrait être tenté de dire que la question est "indécidable" en algèbre mais pas en topologie. Sauf qu'on est loin des théories formelles et (du point de vue épistémologique) que le corps C lui-même n'est pas qu'un objet algébrique puisqu'il est construit à partir de R, et que l'axiome de la borne supérieure n'est pas vraiment algébrique (ou alternativement la notion de suites de Cauchy).
Ce serait un moindre mal, puisque la question de l'ensemble minimum (*) d'axiomes nécessaires, on peut se la poser à propos de chaque théorème, et c'est souvent intéressant (par exemple savoir que le schéma de récurrence n'est pas utile pour la démonstration du premier théorème d'incomplétude de Gödel est très importante, il semblait être le "coupable" idéal).
Mais en tout état de cause, si on a besoin d'ajouter l'axiome A à une théorie T pour démontrer la proposition P, cela n'a pas de sens que de prétendre que P est "vraie" dans T.
(*) Définir le nombre d'axiomes définissant une théorie n'est pas aisé (à part fini/infini).
Dernière modification par Médiat ; 04/04/2016 à 10h27.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
mais pazuzen ne raisonne pas en logicien (on le savait!). Il a un point de vue plus naïf (de mathématicien peut-être...), dans lequel il peut être vrai ou faux que l'équation de Fermat a des solution en nombres entiers.
On ne dira jamais assez le mal fait par les platoniciens
Tant pis pour ceux qui n'auraient pas noté l'émoticône !
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Essayons de clarifier les choses:
Considérons le prédicat F sur les entiers défini ainsi dans langage de l’arithmétique :
F(x,y,z,n) <=> ((x,y,z >1) et (n>2) et (xn+yn=zn))
Ce prédicat est évidemment récursif, donnez moi quatre entiers x,y,z,n et je saurais vous dire si F(x,y,z,n) est vrai ou non par un simple calcul (ici la notion de vrai ne pose pas de problème.
Dans le cadre des "mathématiques expérimentales" On peut donc envisager envisager de tester l'hypothèse "il existe des entiers x,y,z,n tels que F(x,y,z,n) en essayant de façon systématique ou au hasard des quadruplets x,y,z,n .
On n'en trouvera pas (en tous cas je l'espère).
On arrivera donc expérimentalement à la conclusion qu'il n'existe pas de tel nombre ce qui est l'énoncé du théorème de Fermat-Wiles.
Toutefois, je parlais du https://en.wikipedia.org/wiki/Nombre de Skewes.
On peut tester expérimentale ment la proposition "pour tout réel positif x , li(x)>pi(x) " (c'est une proposition d'analyse réelle mais on peut en tirer des versions numériquement testables) alors qu'en fait non.
L'approche numérique expérimentale permet de produire des conjectures mais pas de connaitre "la vérité".
Plaçons nous d'un point de vue plus théorique:
Considérons un proposition arithmétique du type "pour tout n, r(n)" ou "il existe n, r(n)" avec r récursive.
On peut "définir une vérité" pour ce genre de propositions en "théorie de Turing" (il faudrait préciser ce qu'on entend par là), en remarquant que cela peut se traduire par L’arrêt ou non d'une certaine machine de Turing.
Cela se fait toutefois dans le cadre d'une certaine théorie même si je ne l'ai pas exactement précisée et ne vaut que pour les propositions de type existentiel ou universel, or contrairement à ce qu'avait laissé entendre Alain Connes (selon mes souvenirs), il y a des propositions plus complexes.
https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetical_hierarchy
J'ajoute que le type de "vérité" ainsi définie plus haut dans le cadre de la "théorie de Turing" n'est pas calculable ...
Erratum: "On peut tester expérimentale ment la proposition "pour tout réel positif x , li(x)>pi(x) " (c'est une proposition d'analyse réelle mais on peut en tirer des versions numériquement testables) [ on arrivera à la conclusion que oui] alors qu'en fait non.
Je vais, j'espère, faire réagir de façon constructive : Le théorème de Fermat-Wiles (tel qu'exprimé pas Schrodies-cat ci-dessus) n'est pas forcément exprimable dans l'arithmétique de Peano (je ne connais pas assez la démonstration de Wiles pour répondre positivement à cette question.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Par théorème de Fermat-Wiles, j'entends ce qu'on appelait la conjecture de Fermat, et qui est un corolaire de théorème de Wiles et d'autres théorèmes portant sur les courbes elliptiques entre autres chose.
J'utilise un langage un peu plus riche que celui de l'arithmétique de Peano au sens strict, mais qui peut être traduit sans peine dans ce dernier.
Sa démontrabilité dans l'arithmétique de Peano est pour l'instant inconnue;
Nous sommes d'accord, ma remarque précédente n'est en aucun cas un reproche, mais juste une porte ouverte
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
"sans peine" ... je me suis un peu avancé, pour la puissance, ce n'est pas du tout évident et assez coton.
Chercher autour du Xe problème de Hilbert ...
Vous avez mis le doigt dessus
En fait ce que je ne sais pas, c'est si la démonstration de Wiles est une démonstration pour tout n, ou si pour tout n il a une démonstration ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Wiles aurait-il pu faire seulement une démonstration que pour tout n il y a une démonstration ?
Il conviendrait de préciser en tel cas à quelles théories se réfèrent ces deux notions de démonstration.
Il faudrait le faire en général mais plus encore dans ce genre de cas.
Bien...
On commence à voir un peu un début de reflexion ici concernant la nature d'une assertion effectuée dans l'arithmétique de Peano, très simplement exprimable dans Peano, simplement verifiable sur toutes les valeurs prises pour N par le calcul (cette égalité demontrée fausse se calcule facilement), non demontré/demontrable par l'axiomatique de Peano mais demontrable dans ZFC
Je ne confonds en rien logique formelle et l'algorithme de calcul car j'espère que tout le monde a compris aujourd'hui l'équivalence de la calculabilité entre une machine de turing et le langage formel...
Si non, j'appelle au simple bon sens et faire ce simple constat que personne ne peut donner un N qui vérifie l'équation par le calcul
Au bon sens de constater la notoire demonstration qui a été faite de cette ancienne conjecture
Au bon sens de constater qu'elle etait faite cette demo en utilisant ZFC et non en utilisant Peano
Maintenant vous me direz qur non, c'est un theoreme qui pourra être demontré dans Peano (quand on voit le nombre de tentatives ayant échoué, je veux bien...)
Bref, factuellement, j'ai bien une assertion indecidable dans Peano mais vraie dans tous les calculs effectués quels que soient les N...
Visiblement ça ne suffit pas encore
Comment analysez vous la demonstration du theoreme de goodstein ?
On comprend bien que je prends simplement par des exemples des illustrations pratiques de ce que dit Godel et qui est non compris ici...
L'hypothèse de Riemann est donc vraie \o/ oh joie, à toi le million de dollars grace à l'utilisation de la règle de déduction "bon sens de pazuzen"Si non, j'appelle au simple bon sens et faire ce simple constat que personne ne peut donner un N qui vérifie l'équation par le calcul
Bref, factuellement, j'ai bien une assertion indecidable dans Peano
Tant que l'on n'a pas démontré que cette propriété est indécidable dans Peano, alors ON NE PEUT PAS affirmer que c'est indécidable dans Peano.
Sinon on ne fait pas des maths
Le bon sens, une notion utilisée dans d'autres sujet variés de polémiques, et qui sert à disqualifier le contradicteur supposé ne pas en avoir.
Il est clair que cette notion n'a pas sa place en mathématiques ou en sciences dont les multiples paradoxes ne font que confirmer son inadéquation.
Je veux comprendre
Est ce que tu nous apprend qu'andrew miles reconnu mondialement pour la demonstration du theoreme de fermat et qui vient de recevoir 640 000 euros doit pour le prix abel pour cette demonstration doit retourner son cheque ?
C'est une preuve par l'absurde: s'il existe un quadruple (a,b,c,n) de solutions (n>2), alors la courbe elliptique ayant (a,b,c) comme paramètres doit avoir certaines propriétés (propriétés négatives d'ailleurs : elles ne peut pas être modulaire). Wiles a montré que toutes les courbes elliptiques étaient modulaires (en fait c'est plus compliqué, il n'avait besoin de le montrer que pour certaines courbe elliptiques particulières).
Personne n'a dit cela. Mais visiblement vous aimez bien déformer les propos des gens
C'est vous qui interprétez mal le théorème de Godel , celui-ci ne dit pas que toute conjecture non démontré dans Peano est non démontrable dans Peano.la conjecture de fermat est non résolue dans Peano , c'est tout, et vous ne pouvez pas en déduire qu'elle est indécidable dans peano , vous n'en avez aucune preuve .
Quelle émoticône ?On ne dira jamais assez le mal fait par les platoniciens
Tant pis pour ceux qui n'auraient pas noté l'émoticône !
Un excès de formalisme peut ne pas faire du bien .
Mais tant que cela ne devient pas idéologique !
Depuis quand a t'on besoin de preuves en maths, on a le bon sens, ça suffit non?
Je ne suis presque pas surpris de constater que parler de bon sens sur le forum de maths provoquent les mêmes réactions épidermiques que celles rencontrées sur le forum de physique à propos de la réalité.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Faire confiance au bon sens est un des plus sur moyen de dire des bêtises en maths. Le nombre d'objets ignobles et totalement contraire au "bon sens" qui existent en maths est hallucinantJe ne suis presque pas surpris de constater que parler de bon sens sur le forum de maths provoquent les mêmes réactions épidermiques que celles rencontrées sur le forum de physique à propos de la réalité.
Pour matmat qui énonce un argument exact,
En effet, ce qui est demontré est dans le registre des theoremes
Il y a ce qui est demontré et ce qui n'est pas encore demontré par l'axiomatique et la logique de premier ordre
Oui, nous pourrons demontrer des énoncés demontrables donc prouver des énoncés decidables mais non encore trouvés
Oui
Mais Godel dit autre chose
Il dit qu'il existera toujours des énoncés indecidables donc des énoncés qui sont vrais ou faux (ex goodstein) mais qu'on ne pourra jamais prouver au sein même de la théorie
Je vais faire une analogie avec les limites de l'analogie
Les assertions vraies ou fausses seraient comme des fenêtres
L'axiomatique et là logique de premier ordre permettent d'y accéder
Cet échafaudage logique constituant la preuve du raisonnement permet d'accéder à ces fenêtres et devant elles, on sait dire si elles sont fermées ou ouvertes (vrai ou fausse)
En effet, en tant qu'artisan d'échafaudages parfois, nous ne construisons pas l'échafaudage suffisamment faut pour savoir si la fenêtre est ouverte ou fermee
Avec de l'abnégation, nous y arriverons parfois
Mais,
Ce que dit Godel
C'est qu'on peut mettre toutes les bases d'échafaudages et tout le raisonnement logique qui permet de grimper que certaines fenêtres resteront inaccessibles
Elles sont ouvertes ou fermées mais on ne le saura pas car l'échafaudage ne l'atteint pas
