Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

[Tryss2]

Il dit qu'il existera toujours des énoncés indecidables donc des énoncés qui sont vrais ou faux (ex goodstein) mais qu'on ne pourra jamais prouver au sein même de la théorie

Goodstein n'est ni vrai ni faux dans Peano : tout dépend du modèle de Peano que l'on choisi, dans certains c'est vrai, dans d'autre c'est faux (ces derniers ne sont simples)

Il dit qu'il existera toujours des énoncés indecidables donc des énoncés qui sont vrais ou faux (ex goodstein) mais qu'on ne pourra jamais prouver au sein même de la théorie

Oui, et qu'est ce qui vous permet d'affirmer que le theorème de Fermat fait partie de ceux ci?

Un article sur le sujet :
http://www.cwru.edu/artsci/phil/Proving_FLT.pdf

Résumé :
- la preuve telle qu'elle a été donnée demande plus que ZFC
- il est très probable qu'il ne soit pas trop difficile de se ramener à ZFC
- certains pensent qu'il est possible (bien que non trivial) de modifier la preuve pour qu'elle ne demande que Peano
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[Schrodies-cat]

Concernant le bon sens, c'est bien la première fois que je vois des logiciens fiers d'en manquer
La syntaxe ne remplace ni la sémantique ni la construction de sens

J'ai expliqué (post #291) le bon usage de la notion de "bon sens", et c'est la première fois ici que je vous vois ne pas déroger au bon usage d'une notion.

[karlp]

Vous voulez qu'on demontre l'indecidabilite par un theoreme alors que, justement, Godel explique qu'il existe des énoncés indecidables quels que soient les systemes formels complexes donc des assertions indecidables qui ne pourront jamais etre démontrés par des theoremes
Vous faites du Godel à l'envers
C'est stupéfiant !

On ne décrète pas l'indécidabilité d'un énoncé sous prétexte qu'on ne parvient pas à le démontrer.
L'indécidabilité d'un énoncé doit être démontrée (et je dis bien que c'est l'indécidabilité qui doit l'être, pas l'énoncé: ce que vous semblez avoir confondu)

[karlp]

Concernant le bon sens, c'est bien la première fois que je vois des logiciens fiers d'en manquer
La syntaxe ne remplace ni la sémantique ni la construction de sens

Première phrase de l'article de JP Delahaye sur les hypersensembles ("Logique informatique et paradoxes")

L 'histoire des mathématiques incite à se moquer du bon sens

(Platon le disait déjà)

[Tryss2]

Toujours est il qu'il ne l'a pas été mais cela ne pointe pas mon énoncé qu'il existe des assertions indécidables et non prouvables dans la théorie

Dans une théorie du premier ordre récursivement automatisable et capable de "formaliser l'arithmétique". Sinon c'est faux.

[Tryss2]

Ah tiens, j'ai oublié cohérente...

Ce qui me fait dire que peut être toutes les assertions sont prouvables dans Peano

[Tryss2]

Par ailleurs ce que vous dites à propos des assertions qui seraient toutes demontrables dans peano est tellement un contresens de godel que mieux vaut en rire

Au contraire, Gödel me dit que :
- soit on pourra prouver que toutes les assertions sont démontrables dans Peano (ie. Peano n'est pas cohérente)
- soit on ne pourra jamais prouver qu'il existe des assertions non démontrables dans Peano (ie. Prouver que Peano est consistante, cf second théorème d'incomplétude)

[gg0]

Qui veut noyer son chien l'accuse de la rage.

[Schrodies-cat]

Pour Tryss, je veux bien concéder qu'il n'est pas démontré que Fermat ne soit pas un jour démontrable dans Peano
Toujours est il qu'il ne l'a pas été mais cela ne pointe pas mon énoncé qu'il existe des assertions indécidables et non prouvables dans la théorie
Soit.

Sur ce sujet qui est le cœur du premier théorème, je vous propose ce lien et vous demande votre analyse :
http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Talks/Dxv.pdf

La conclusion du théorème d'incomplétude est écrite ainsi dans la page que vous citez:

Alors il existe un énoncé un énoncé vrai dans (N,+,*) mais non prouvable à partir de S.

Dit comme cela, je ne vois trop d'objections .
Ce qui ne va pas avec vous est que vous utilisez "vrai", "prouvable" etc sans précision.
Mais je pense que Sisyphe a plus de chance de parvenir à remplir le tonneau des Danaïdes que nous de vous faire comprendre cela .

[Médiat]

C'est une preuve par l'absurde: s'il existe un quadruple (a,b,c,n) de solutions (n>2), alors la courbe elliptique ayant (a,b,c) comme paramètres doit avoir certaines propriétés (propriétés négatives d'ailleurs : elles ne peut pas être modulaire).

C'est bien là que se situe mon interrogation,
si le n cité est un entier (même non standard), alors il faut exprimer l'exponentiation par un entier non-standard, et je ne suis pas certain que ce soit possible
si le n cité est un entier standard, alors ce n'est pas exprimable dans Peano

[pazuzen]

Les bras m'en tombent...
Merci tryss d'avoir formulé votre compréhension des deux theoremes je prends la mesure la...et bon...

Bien...
La consistance / cohérence n'a rien à voir avec le fait de pouvoir prouver une assertion ou pas...

La consistance, c'est ne pas pouvoir demontrer une chose et son contraire !
L'inconsistance revenant donc a pouvoir demontrer une chose et son contraire

Dans votre premier point, on peut parfaitement pouvoir tout demontrer
Mais si on demontre une chose et son contraire la theorie n'a strictement aucun intérêt car elle est inconsistante !!!

Le premier theoreme dit que, dans une theorie RE integrant robinson omega consistante donc consistante, il existera toujours des énoncés indecidables donc qu'on ne pourra demontrer dans la théorie....
Donc elle reste incomplète...

Quand au second, nouvelle interprétation extra terrestre...
Ce theoreme nous dit que la consistance d'une theorie ne peut JAMAIS être demontrée par elle même dès lors qu'elle est RE et integre Robinson
Cette demonstration doit venir d'un autre système !
Figurez vous que la consistance de Peano est demontrée et heureusement parce que sinon dès qu'on utiliserait un nombre on ne serait jamais sûr de l'utilisation qu'on en fait !!!
Cette demonstration a ete faite depuis la theorie des ensembles

J'ai besoin de mesurer le degré là
Karl, mediat, tous ceux qui m'ont fait le plaisir d'un echange, vous êtes ok avec la formulation de Tryss ?

Au moins je comprends pourquoi vous voyez ce theoreme survendu
Compris ainsi, il n'a pas le moindre debut de commencement d'intérêt et sa formulation accessible sans aucune demonstration

[JPL]

Mais je pense que Sisyphe a plus de chance de parvenir à remplir le tonneau des Danaïdes que nous de vous faire comprendre cela .

C'est d'autant plus impossible que Sisyphe, c'était un rocher qu'il avait à pousser en haut d'une colline, et qui retombait constamment Mais tel le rocher, pazuzen passe son temps à retomber toujours au même endroit. Et ça dure depuis le message 14 alors que les 300 ont été dépassés. Qui a dit que le mouvement perpétuel n'existait pas ? En informatique on dirait qu'il est dans une boucle infinie.

[Tryss2]

Figurez vous que la consistance de Peano est demontrée et heureusement parce que sinon dès qu'on utiliserait un nombre on ne serait jamais sûr de l'utilisation qu'on en fait !!!
Cette demonstration a ete faite depuis la theorie des ensembles

Et cette théorie des ensembles, a t'elle été prouvée cohérente?

Si ça n'est pas le cas, alors elle est peut être incohérente, et si elle s'avérait incohérente, on pourrait alors aussi prouver la non cohérence de Péano.

Maintenant, si la cohérence de la théorie des ensemble est prouvée, ça ne peut pas être dans la théorie des ensembles, à cause du second théorème d'incomplétude de Gödel. Donc c'est prouvé dans une théorie T

Même argument concernant la consistance de la théorie des ensemble mais pour la théorie T

répéter ad-vitam eternam

[Schrodies-cat]

C'est d'autant plus impossible que Sisyphe, c'était un rocher qu'il avait à pousser en haut d'une colline, et qui retombait constamment Mais tel le rocher, pazuzen passe son temps à retomber toujours au même endroit.

Et les Danaïdes avaient été condamnées, après avoir je ne sais plus comment indisposé les dieux, à verser de l'eau dans un tonneau sans fond jusqu'à ce qu'il soit rempli.
Tenter d'emplir d'idées claires l'esprit de certains semble une tâche aussi désespérée.

[minushabens]

C'est bien là que se situe mon interrogation,
si le n cité est un entier (même non standard), alors il faut exprimer l'exponentiation par un entier non-standard, et je ne suis pas certain que ce soit possible
si le n cité est un entier standard, alors ce n'est pas exprimable dans Peano

hum! c'est du chinois pour moi... j'ignorais qu'il existait des entiers standard et d'autres pas. Mais si l'aritmétique de Peano ne permet pas d'exprimer le théorème de Fermat, elle perd de ses charmes à mes yeux.

[JPL]

En tout cas le meilleur job de mediat est de savoir supprimer les messages

Un modérateur juge et partie est à l'instar de la vaste blague collective ici

Le problème est qu'il est compétent, lui, pour savoir si tu déformes ou non les propos des autres participants. Le fait est qu'actuellement c'est pazuzen seul contre tous et l'explication la plus simple est que pazuzen se trompe, sinon il faudrait penser que tous les autres sont des imbéciles, ce qui n'est pas le cas.

Je rappelle que selon la charte du forum :

Tout acte de modération est écrit en vert ; dans les autres cas les modérateurs s'expriment à titre personnel. Les critiques ou les commentaires sur la modération doivent être effectués en privé.

Donc tu as le droit de contester les propos de Médiat quand il écrit en noir, mais quand il intervient comme modérateur, c'est à dire en vert ou quand il supprime un message, si tu n'es pas d'accord tu t'en expliques par message privé et non publiquement.

[JPL]

Médiat est logicien... et toi... ?

[Médiat]

Maintenant, si la cohérence de la théorie des ensemble est prouvée, ça ne peut pas être dans la théorie des ensembles, à cause du second théorème d'incomplétude de Gödel. Donc c'est prouvé dans une théorie T

Plus précisément on y arrive avec un axiome de cardinaux inaccessibles.

[Médiat]

Mais si l'aritmétique de Peano ne permet pas d'exprimer le théorème de Fermat, elle perd de ses charmes à mes yeux.

Ce n'est pas forcément très grave, dans le deuxième cas, au lieu d'écrire un théorème, on écrit un schéma de théorème (c'est assez classique en arithmétique, en particulier dans le système Q).

[Schrodies-cat]

Je parlais à ce propos (évasivement) du X^e problème de Hilbert.
Considérant le théorème de Matiiassevitch qui a permis de lui donner une réponse négatif, qui montre que l'appartenance à un ensemble récursivement énumérable peut être codée dans le formalisme des équation diophantiennes.
On a une version faible, dans laquelle les puissances intervenant dans les équation sont des variables, et selon mes souvenirs, il y a une version plus forte ou ce sont des constantes qui a aussi été démontrée.
J'explique: coder a=b³ dans le langage de l'arithmétique de Péano donne: a=b*b*b etc.
Coder a=b^c dans ce langage de n'a rien d'évident ...

l'ensemble des a,b,c satisfaisant a=b^c est récursivement énumérable donc cela est codable dans le langage de l'arithmétique de Peano, si on en croit la versions forte du théorème.
En codant ainsi l'énoncé du théorème de Fermat, on aurait bien sur du mal à le reconnaitre !

C'est bien sur prendre les chose un peu à l'envers, pour passer de la version faible à la version forte du théorème, il a fallu coder l'opérateur puissance dans le langage de Peano.

[Médiat]

Coder a=b^c dans ce langage de n'a rien d'évident ...

Pour c un entier standard : la fonction béta de Gödel (voir dans les contributions des forumeurs, un certain document sur l'arithmétique)

[JPL]

En raison de la nature de certaines de ses réponses, en particulier la dernière, particulièrement insultante qui vient d'être supprimée, pazuzen est désormais prémodéré, c'est à dire que ses messages ne seront désormais visibles que si un modérateur les approuve. De toutes façons il n'y a aucun espoir de lui faire entendre raison même si tout le monde le contredit. Qu'il reste avec ses certitudes.

[stefjm]

Faire confiance au bon sens est un des plus sur moyen de dire des bêtises en maths. Le nombre d'objets ignobles et totalement contraire au "bon sens" qui existent en maths est hallucinant

Un peu comme croire en la réalité quand on fait de la physique.

[Tryss2]

Un peu comme croire en la réalité quand on fait de la physique.

Pas vraiment non. La physique cherche à dire des choses sur la réalité.

En maths, on cherche à dire des choses sur des objets que l'on a rigoureusement définis, mais il s'avère bien souvent que l'intuition naïve que l'on avait des objets que l'on a défini était fausse, et qu'ils étaient plus complexes qu'à première vue.

Alors c'est vrai que ça ressemble un peu à ce que vit le physicien avec la réalité, sauf que le physicien n'a pas choisi sa réalité (mais là les platoniciens pur jus vont me tomber dessus )

Exemple simple de truc contre intuitif (du moins pour moi) :

Naissance de l'intuition : On partage la droite réelle en deux couleurs, rouge et bleue. La partie rouge est composée de n morceaux (composantes connexes pour la topologie usuelle), de combien de morceaux pourra être composée la partie bleue?

Application de l'intuition : Maintenant, la partie rouge est composée d'un nombre dénombrable de morceaux, de combien de morceaux pourra être composée la partie bleue?

edit : je viens de me rendre compte que je n'ai pas une réponse totalement complète à cette dernière question.

[stefjm]

Pas vraiment non. La physique cherche à dire des choses sur la réalité.

En maths, on cherche à dire des choses sur des objets que l'on a rigoureusement définis, mais il s'avère bien souvent que l'intuition naïve que l'on avait des objets que l'on a défini était fausse, et qu'ils étaient plus complexes qu'à première vue.

Alors c'est vrai que ça ressemble un peu à ce que vit le physicien avec la réalité, sauf que le physicien n'a pas choisi sa réalité (mais là les platoniciens pur jus vont me tomber dessus )

Le physicien choisit la partie de réalité qu'il souhaite étudier.
Je ne connais personne capable de définir proprement ce qu'est la réalité. C'est déjà difficile de définir ce qu'est une mesure physique, une grandeur physique, alors la réalité...

Exemple simple de truc contre intuitif (du moins pour moi) :

Naissance de l'intuition : On partage la droite réelle en deux couleurs, rouge et bleue. La partie rouge est composée de n morceaux (composantes connexes pour la topologie usuelle), de combien de morceaux pourra être composée la partie bleue?

Application de l'intuition : Maintenant, la partie rouge est composée d'un nombre dénombrable de morceaux, de combien de morceaux pourra être composée la partie bleue?

edit : je viens de me rendre compte que je n'ai pas une réponse totalement complète à cette dernière question.

Mon intuition ne me dit absolument rien, mais c'est sans doute parce que je ne comprends pas la question posée.

[Médiat]

Bonjour,

Application de l'intuition : Maintenant, la partie rouge est composée d'un nombre dénombrable de morceaux, de combien de morceaux pourra être composée la partie bleue?

Il me semble que les seules réponses possibles sont et (même sans HC)

J'ai répondu trop vite, victime de l'intuition ?

[Schrodies-cat]

Un peu comme croire en la réalité quand on fait de la physique.

Puisqu'on philosophe, (rassurez-vous je ne le fais jamais longtemps), l'existence de la réalité, c'est ce qui fait qu'on ne peut pas dire n'importe quoi (ou ne devrait pas !).
Pour interpréter cela dans ZF, voir les propriétés des éléments de l'ensemble vide.
Je reconnais que ce raisonnement n'est pas déductif mais inductif .
Quant à ce qu'est la réalité ...

[Tryss2]

Tu as une drôle d'intuition Ou plutôt forgée par une longue pratique. Et même comme ça, le résultat 2^aleph0 ne m'est pas du tout intuitif (même si la question n'est pas dure)

Dans le cas fini, il y a toujours a peu près le même nombre d'éléments (+/- 2), alors que dans le cas infini, absolument pas. Et ça n'est pas la présence d'un exemple simple qui me permet de sentir ce qui change

Et oui, ce sont bien les deux seules réponses possibles (immédiat avec HC, petite démo nécessaire sans).

[Médiat]

Tu as une drôle d'intuition.

C'est vrai que la pratique de l'infini (depuis plus de 45 ans ) modifie profondément l'intuition à tel point que je ne pense jamais au cas fini dès que l'infini apparaît .

[minushabens]

Et oui, ce sont bien les deux seules réponses possibles (immédiat avec HC, petite démo nécessaire sans).

les morceaux bleus peuvent aussi être en nombre fini, par exemple zéro, si les morceaux rouges sont de la forme [n,n+1[