Contenu d'un polynôme à coefficients entiers

[invite2ec0a62b]

Bonsoir,
l'énoncé d'un exo est le suivant:
Pour tout polynôme , on note le pgcd des coefficients de .
1) Soient avec . On pose . Soit un facteur premier de
a) Si p est premier avec le coefficient constant de P, montrer que p divise tous les coefficients de Q.
b)Si p divise le coefficient constant de P, se ramener au cas précédent.
c)En déduire que
C'est dans cette dernière question que je bloque. Pour les deux autres, j'établis une récurrence forte.
Vos indices seront les bienvenus !
Cordialement.
-----

[invite07dd2471]

Salut,

alors je dirais que c(Q) divise c(R) car c(Q) divise tous les coeffs de Q donc tous les coeffs de PQ donc tous les coeffs de R

Et dans l'autre sens tu divises c(R) en produit de facteurs premiers . Et pour chaque tu es soit dans le cas a)donc il divise c(Q), soit dans le cas b) donc il divise encore c(Q). Tu factorises par p_i et tu continues avec ce qui reste.

Au final, divise c(Q)

donc a|b et b|a => a=b ou a=-b et comme les contenus sont positifs (pgcd..)

PS : pour la a et b récurrence ça me paraît bien lourd. J'aurais dis pour la a) un lemme de Gauss suffit,car si et Q=, alors , donc si c(R) ne divise pas a_0, tu vois avec la première somme qu'il doit diviser tous les b_i.

Pour la b), ça vient du fait que c(P)=1, tu as forcément un des coeffs de P qui sera premier avec c(R) si ce dernier divise le coeff constant. Donc pareil en réarrangeant la somme comme il faut tu verras qu'il doit diviser les coeffs de Q)

[invite2ec0a62b]

merci de m'avoir aidé pour la c), mais en fait j'ai pas compris le produit que vous avez fait, parce que c(R) divise et c(R) divise implique que c(R) divise , et puisque p est premier alors p divise l'une des sommes, je ne vois pas comment on peut affirmer que ce sont les qu'il divise....

[invite07dd2471]

Je me suis trompé, je voulais pas écrire c(R) mais p.

En fait p est premier avec a_0, donc tu regardes le terme . p divise chacun des termes de cette somme. et le lemme d'Euclide, souvent appelé lemme de Gauss aussi, te dit que et . Donc pour chacun des termes de la somme tu obtiens

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2ec0a62b]

Ok ! C'est validé

[invite2ec0a62b]

dans la deuxième question, on demande de calculer en fonction de c(P) et c(Q), c(PQ) lorsque . Pas de problème, en considérant le polynôme tel que , on revient au cas précédent.
Puis comme application de ce résultat :
Soient et tels que . Montrer qu'il existe proportionnels à P et Q tels que .
Je pose et avec et pour tout k. J'effectue le produit, les coefficients du produit doivent donc être entiers, mais je n'arrive pas à expliciter le et ....