Résoudre une inéquation avec factorielle

[invite5ffffaa4]

Bonjour,

J'ouvre à nouveau une discussion sur ce sujet qui a déjà était traité mais qui n'avait pas abouti
cf: Résolution d'une équation avec présence de factorielles par titoine49 le 27 décembre 2009,

Est ce que vous pourriez me donner des éléments de réponse pour résoudre cette inéquation:



je l'ai deja tourné dans tous les sens le problème je pense c'est la présence du n dans la factorielle y a t'il un moyen de sortir ce n? ou d'exprimer le factorielle d'une autre manière,

Merci d'avance.
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[invite06b993d0]

c'est normal que tu aies du mal à le démontrer parce que c'est faux. Prends n=1, l'expression vaut alors 1.

[invite5ffffaa4]

Je ne cherche pas à le démontrer, mais à trouver les valeurs de n qui vérifient cette inéquation

[Médiat]

Bonjour,

Je suppose que n <= 365.

Il suffit de montrer que la partie gauche décroit quand n croit, puis de trouver les 2 valeurs qui encadre 1/2 (par dichotomie par exemple).

Il s'agit, sans doute d'un exercice .concernant les dates anniversaire

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite06b993d0]

ah pardon j'avais mal lu.

la suite est décroissante, il suffit de trouver le plus petit n vérifiant l'inégalité.

[breukin]

Pour grand, on a

[breukin]

C'est vraiment nul, ce temps ridicule disponible pour effectuer des corrections ! Il faut au minimum un quart d'heure.
Il manque un terme dans la formule du milieu. Et il faut lire (1-n/p) à la fin.

[breukin]

En préparant le texte en Latex à l'avance cette fois...
On part de la formule de Stirling en log :

qu'on applique aussi à , où n'est pas trop proche de :


d'où


Puis avec :
et
il vient tous calculs faits :

On cherche à résoudre :
avec (par exemple )
En première approximation, il s'agit donc de résoudre :

qu'on peut encore plus approximer en :
soit
En particulier, avec et on trouve soit dont on peut estimer qu'il n'est pas trop proche de .