montrer qu'un systeme de 3 vecteurs est une base de IR*

[tpeplongée]

bonjour,
il me faut montrer que et discuter en fonction m appartenant a R pour que le systeme de 3 vecteurs de R3 ((m,1,m) , (2,m,1) , (m,3,0))est une base de R*.
bon je sais deja qu'il fauit montrer quil est libre puis generateur de R*. Mais comment faire etant donne que ce sont des vecteurs de R3?
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[Snowey]

Euh ... La question est elle posée comme cela ?
Je n'ai entendu parler de base que dans le cadre des espaces vectoriels, or R* n'en est clairement pas un ! Et en plus il y a en effet un problème de définition (pour être une base, il faut au moins appartenir au bon espace !).
En admettant que ce soit R^3 comme R-ev, si tu as vu la notion de dimension alors il te suffit d'étudier la liberté de la famille pour montrer que c'est une base (ou vice versa, mais bon ...).
Et être libre c'est notamment vérifier un système particulier.

[nouhailag]

à part que tt système libre de R^3 est générateur y a t il pas un moyen de le démontrer ?

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Quelques corrections et remarques:

1. Un ensemble de vecteur est une base s'il constitue un ensemble libre ET générateur.

2. Montrer qu'un ensemble de vecteur est libre ne suffit donc pas pour montrer qu'il est une base. Exemple: (1, 0, 0) et (0, 1, 0) est libre, mais ce n'est pas une base de R³ (non générateur).
3. Si est ensemble est générateur, ce n'est pas forcément une base non-plus. Exemple (1, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1) est générateur de R³, mais ce n'est pas une base (non libre).

Par contre:

Si l'on a une famille libre de n vecteurs dans , alors la famille est génératrice et c'est une base. (Ceci découle d'un théorème d'algèbre.)
Donc, pour votre problème, il suffit de montrer que votre famille de vecteur est libre (moyennant le théorème ci-dessus).

Pour rappel, une famille (finie) de vecteurs est libre si:
Ce qui vous amène à un système à résoudre.

N.B: dans le cas de ce problème, il est aussi possible de passer par le déterminant. Ne connaissant cependant pas les consignes exactes de l'exercice, je n'en ais pas parlé ici.

[A voir en vidéo sur Futura]