Topologie (enfin, je crois...)
Bonsoir,
Je n'arrive pas à résoudre cet exercices (et les exercices de mêmes types):
J'ai S = {(x,y) de R^2 : 0 < y < (1+x^2)*exp(-abs(x))}
Je dois montrer que cet ensemble est ouvert. Soit S = °S (l'interieur de S)
Le professeur à dit que ça découle du fait :
- Des inégalités strictes
- de la continuité de la fonction
Pouvez-vous m'expliquer comment on procède?
Soyez le plus claire possible s'il vous plait car dans ma tête c'est déjà un peu embroillé.
Je vous remerçie d'avance.
Bonsoir,
je suppose qu'on travaille avec la topologie usuelle.
Supposons par l'absurde qu'il existe (x,y) un élément de S et (x(n),y(n)) une suite de de R² privé de S qui converge vers (x,y) (c'est équivalent à dire que S n'est pas ouvert, avec la topologie usuelle issue de la norme en tout cas). Cela revient à dire qu'on a y(n) >= (1+x(n)²)*(bla bla bla). Et ensuite que remarque-t-on ?
Il est plus simple de considérer la fonction définie par f(x,y) = y - (1+x^2)*exp(-abs(x)). L'ensemble S est l'intersection de f-1{R*-}, qui est ouvert comme image réciproque d'un ouvert par une fonction continue, intersection R X R+* (à cause du y>0 dans S) qui est aussi ouvert. L'intersection de deux ouverts est un ouvert, donc S est un ouvert.
Aussi oui,
mais pour ce que je suppose être un début en topologie, je trouve plus visuel de travailler en séquentiel.
